《2025年学习探究诊断八年级数学上册人教版》

13. 如图,在$\triangle ABC$中,边$AB$,$BC的垂直平分线交于点P$.
求证：点$P在边AC$的垂直平分线上.

答案： 提示：由 $AP=CP$ 证得点P在AC的垂直平分线上.

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB边的垂直平分线l_{1}交BC于点D$,$AC边的垂直平分线l_{2}交BC于点E$,$l_{1}与l_{2}相交于点O$,$\triangle ADE的周长为6\mathrm{cm}$.
(1)求$BC$的长；
(2)分别连接$OA$,$OB$,$OC$,若$\triangle OBC的周长为14\mathrm{cm}$,求$OA$的长.

答案： （1）6 cm；（2）4 cm.

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DE相交于点D$,$DM\perp AB于点M$,$DN\perp AC交AC的延长线于点N$.
求证：(1)$BM = CN$；(2)$AM= \frac{1}{2}(AB + AC)$.

答案：
证明：（1）连接BD，CD.
∵AD平分$\angle BAC$，$DM\perp AB$，$DN\perp AC$，
∴$DM=DN$.
∵DE垂直平分BC，
∴$BD=CD$.在 $Rt\triangle BMD$ 与 $Rt\triangle CND$ 中，$\begin{cases} BD=CD, \\ DM=DN, \end{cases}$
∴$Rt\triangle BMD\cong Rt\triangle CND$.
∴$BM=CN$.（2）
∵$AM=AB - BM$，$AN=AC + CN$，$BM=CN$，
∴$AM + AN=AB + AC$.在 $Rt\triangle ADM$ 和 $Rt\triangle ADN$ 中，$\begin{cases} AD=AD, \\ DM=DN, \end{cases}$
∴$Rt\triangle ADM\cong Rt\triangle ADN$.
∴$AM=AN$.
∴$2AM=AB + AC$.
∴$AM=\frac{1}{2}(AB + AC)$.