《2025年学习探究诊断八年级数学上册人教版》

18. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在 $ AB $ 上,过点 $ D $ 作 $ DE // BC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,$ DP $ 平分 $ \angle ADE $,交 $ \angle ACB $ 的平分线于点 $ P $,$ CP $ 与 $ DE $ 相交于点 $ G $,$ \triangle ABC $ 的外角 $ \angle ACF $ 的平分线 $ CQ $ 与 $ DP $ 的延长线相交于点 $ Q $.
(1)若 $ \angle A = 40^{\circ} $,$ \angle B = 60^{\circ} $,则 $ \angle DPC = $110$ ^{\circ} $,$ \angle Q = $20$ ^{\circ} $；
(2)若 $ \angle A = \alpha $,当 $ \angle B $ 的度数发生变化时,$ \angle DPC $,$ \angle Q $ 的度数是否发生变化？若变化,说明理由；若不变化,求出 $ \angle DPC $,$ \angle Q $ 的度数(用含 $ \alpha $ 的式子表示)；
(3)若 $ \triangle PCQ $ 中存在一个内角等于另一个内角的三倍,请直接写出所有符合条件的 $ \angle A $ 的度数.
（2）若∠A=α，当∠B的度数发生变化时，∠DPC，∠Q的度数不发生变化，理由如下：
设∠B=β，则∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-α-β.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B=β，∠PGD=∠PCB.
∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
∴∠PDG=1/2∠ADE=1/2β，∠PCB=1/2∠ACB=90°-1/2α-1/2β.
∴∠PGD=∠PCB=90°-1/2α-1/2β.
∴∠DPC=180°-(∠PDG+∠PGD)=180°-(1/2β+90°-1/2α-1/2β)=90°+1/2α.
∴∠DPC不随∠B的度数变化而发生变化，∠DPC=90°+1/2α.
∴∠CPQ=180°-∠DPC=180°-(90°+1/2α)=90°-1/2α.
∵∠PCQ=∠PCA+∠ACQ=1/2∠ACB+1/2∠ACF=1/2(∠ACB+∠ACF)=1/2×180°=90°，
∴∠Q=180°-(∠CPQ+∠PCQ)=180°-(90°-1/2α+90°)=1/2α.
∴∠Q不随∠B的度数变化而发生变化，∠Q=1/2α.
（3）∠A的度数为120°或60°或45°或135°.

答案： 解：（1）110；20；
（2）若∠A=α，当∠B的度数发生变化时，∠DPC，∠Q的度数不发生变化，理由如下：
设∠B=β，则∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-α-β.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B=β，∠PGD=∠PCB.
∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
∴∠PDG=1/2∠ADE=1/2β，∠PCB=1/2∠ACB=90°-1/2α-1/2β.
∴∠PGD=∠PCB=90°-1/2α-1/2β.
∴∠DPC=180°-(∠PDG+∠PGD)=180°-(1/2β+90°-1/2α-1/2β)=90°+1/2α.
∴∠DPC不随∠B的度数变化而发生变化，∠DPC=90°+1/2α.
∴∠CPQ=180°-∠DPC=180°-(90°+1/2α)=90°-1/2α.
∵∠PCQ=∠PCA+∠ACQ=1/2∠ACB+1/2∠ACF=1/2(∠ACB+∠ACF)=1/2×180°=90°，
∴∠Q=180°-(∠CPQ+∠PCQ)=180°-(90°-1/2α+90°)=1/2α.
∴∠Q不随∠B的度数变化而发生变化，∠Q=1/2α.
（3）∠A的度数为120°或60°或45°或135°.