《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

1. 在$\triangle ABC$中,$BC= 5$,$AC= 8$,$\angle C= 60^{\circ}$,则$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}= $ (B)
A.20
B.$-20$
C.$20\sqrt{3}$
D.$-20\sqrt{3}$

答案： 【解析】：
本题主要考查平面向量的数量积公式和三角函数的基本性质。
首先，我们知道平面向量的数量积公式为$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \theta$，其中$\theta$是两向量的夹角。
在本题中，已知$BC=5$，$AC=8$，$\angle C=60^\circ$，我们要求的是$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$。
注意到$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{CA}$的夹角实际上是$180^\circ - \angle C = 120^\circ$，因为向量$\overrightarrow{CA}$是向量$\overrightarrow{AC}$的反方向。
代入数量积公式，有$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos 120^\circ = 5 × 8 × (-\frac{1}{2}) = -20$。
【答案】：
B

2. 在$\triangle ABC$中,$A= 60^{\circ}$,$B= 75^{\circ}$,$a= 10$,则$c$等于 (C)
A.$5\sqrt{2}$
B.$10\sqrt{2}$
C.$\frac{10\sqrt{6}}{3}$
D.$5\sqrt{6}$

答案： 【解析】：
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用。
首先，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，求出角C的大小，即
$C = 180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 75^{\circ} = 45^{\circ}$
然后，利用正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$，代入已知的a，A，C的值，得到
$\frac{10}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 45^{\circ}}$
化简得
$c = \frac{10\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{10 × \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{3}$
【答案】：
C

3. 设$x,y\in \mathbf{R}$,向量$\boldsymbol{a}= (x,1)$,$\boldsymbol{b}= (1,y)$,$\boldsymbol{c}= (2,-4)$,且$\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{c}$,$\boldsymbol{b}// \boldsymbol{c}$,则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|= $ (B)
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{5}$
D.10

答案： 解：
因为 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{a} = (x,1)$，$\boldsymbol{c} = (2,-4)$，
所以 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 2x + 1 × (-4) = 0$，
即 $2x - 4 = 0$，解得 $x = 2$，故 $\boldsymbol{a} = (2,1)$。
因为 $\boldsymbol{b} // \boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{b} = (1,y)$，$\boldsymbol{c} = (2,-4)$，
所以 $1 × (-4) - 2y = 0$，
即 $-4 - 2y = 0$，解得 $y = -2$，故 $\boldsymbol{b} = (1,-2)$。
则 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (2 + 1, 1 + (-2)) = (3,-1)$，
所以 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$。
答案：B

4. 如图所示,在正方形$ABCD$中,$E为AB$的中点,$F为CE$的中点,则$\overrightarrow{AF}= $ (D)
A.$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$
B.$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$
C.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
D.$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
 

答案： 【解析】：
本题主要考查平面向量的基本定理以及向量的线性运算。
在正方形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$不共线，根据平面向量基本定理，平面内任一向量都可以用这两个不共线向量来表示。
要求$\overrightarrow{AF}$，可先利用向量的加法法则将$\overrightarrow{AF}$转化为与$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{CF}$有关的向量，再进一步用$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$表示。
根据向量加法的三角形法则$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}$。
在正方形$ABCD$中，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$。
因为$F$为$CE$的中点，所以$\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CE}$。
又因为$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$，且$\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}$，$E$为$AB$的中点，所以$\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，那么$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}(-\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。
将$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$代入$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}$可得：
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+(-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$。
【答案】：D。

5. 已知向量$\boldsymbol{a}= (2,1)$,$\boldsymbol{b}= (-1,k)$,$\boldsymbol{a}\cdot (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})= 0$,则$k= $ (D)
A.$-12$
B.$-6$
C.6
D.12

答案： 【解析】：
本题主要考查向量的坐标运算和数量积。
首先，根据题目给出的向量$\boldsymbol{a}= (2,1)$和$\boldsymbol{b}= (-1,k)$，可以计算出$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$的坐标。
$2\boldsymbol{a} = 2(2,1) = (4,2)$，
$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} = (4,2) - (-1,k) = (5,2-k)$，
然后，根据题目给出的$\boldsymbol{a}\cdot (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})= 0$，可以进行数量积的坐标运算。
$\boldsymbol{a}\cdot (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = (2,1) \cdot (5,2-k) = 2 × 5 + 1 × (2-k) = 10 + 2 - k = 12 - k$，
由于$\boldsymbol{a}\cdot (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})= 0$，所以有$12 - k = 0$，
解这个方程，得到$k = 12$。
【答案】：
D

6. $\triangle ABC的内角A$,$B$,$C的对边分别为a$,$b$,$c$,已知$a\sin A-b\sin B= 4c\sin C$,$\cos A= -\frac{1}{4}$,则$\frac{b}{c}= $ (A)
A.6
B.5
C.4
D.3

答案： 解：由正弦定理得$a^2 - b^2 = 4c^2$。
由余弦定理$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = -\frac{1}{4}$。
将$a^2 = b^2 + 4c^2$代入余弦定理式子：
$\frac{b^2 + c^2 - (b^2 + 4c^2)}{2bc} = -\frac{1}{4}$
化简得$\frac{-3c^2}{2bc} = -\frac{1}{4}$，即$\frac{-3c}{2b} = -\frac{1}{4}$
解得$\frac{b}{c} = 6$
答案：A

7. 在$\triangle ABC$中,$D是边BC$上一点,若$AD\perp AC$,$\sin \angle BAC= \frac{2\sqrt{2}}{3}$,$AD= 3$,$AB= 3\sqrt{2}$,$BD= $ (A)
A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.3

答案： 解：
∵ $AD \perp AC$，
∴ $\angle DAC = 90^\circ$，
$\sin \angle BAC = \sin(\angle BAD + 90^\circ) = \cos \angle BAD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
在$\triangle ABD$中，由余弦定理：
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD$
代入 $AB = 3\sqrt{2}$，$AD = 3$，$\cos \angle BAD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$：
$BD^2 = (3\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$= 18 + 9 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$= 27 - 24 = 3$
$BD = \sqrt{3}$
答案：A

8. (2023·全国乙卷)正方形$ABCD$的边长是2,$E是AB$的中点,则$\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{ED}= $ (B)
A.$\sqrt{5}$
B.3
C.$2\sqrt{5}$
D.5

答案： 解：以点$A$为坐标原点，$AB$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
因为正方形$ABCD$的边长是$2$，所以各点坐标为：$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$。
$E$是$AB$的中点，所以$E$点坐标为$(1,0)$。
则$\overrightarrow{EC}=(2 - 1, 2 - 0)=(1,2)$，$\overrightarrow{ED}=(0 - 1, 2 - 0)=(-1,2)$。
$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=1×(-1)+2×2=-1 + 4=3$。
答案：B

9. 已知向量$\boldsymbol{a}= (1,-2)$,$|\boldsymbol{b}|= 4|\boldsymbol{a}|$,$\boldsymbol{a}// \boldsymbol{b}$,则$\boldsymbol{b}$可能是 (AD)
A.$(4,-8)$
B.$(8,4)$
C.$(-4,-8)$
D.$(-4,8)$

答案： 【解析】：
本题主要考查向量的模长和向量平行的性质。
首先，根据题目给出的向量$\boldsymbol{a}= (1,-2)$，可以计算出向量$\boldsymbol{a}$的模长为
$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$
由题目条件$|\boldsymbol{b}|= 4|\boldsymbol{a}|$，可以得到
$|\boldsymbol{b}| = 4\sqrt{5}$
接下来，由于$\boldsymbol{a}// \boldsymbol{b}$，根据向量平行的性质，两向量的对应分量之比应该相等，即
$\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$
其中，$b_1$和$b_2$是向量$\boldsymbol{b}$的两个分量，$a_1 = 1$和$a_2 = -2$是向量$\boldsymbol{a}$的两个分量。
现在，我们将每个选项代入上述条件中进行检验：
A. 对于向量$(4,-8)$，模长为$\sqrt{4^2 + (-8)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$，满足模长条件。
同时，$\frac{4}{1} = \frac{-8}{-2} = 4$，满足平行条件。
B. 对于向量$(8,4)$，模长虽然满足，但$\frac{8}{1} \neq \frac{4}{-2}$，不满足平行条件。
C. 对于向量$(-4,-8)$，模长不满足。
D. 对于向量$(-4,8)$，模长满足，且$\frac{-4}{1} = \frac{8}{-2} = -4$（注意这里的负号表示方向相反，但仍然满足平行条件），同时模长也为$4\sqrt{5}$，满足模长条件。
所以，满足题目条件的向量有两个，即选项A和D。
【答案】：
AD

10. 在$\triangle ABC$中,$a= 15$,$b= 20$,$A= 30^{\circ}$,则$\cos B= $ (D)
A.$-\frac{\sqrt{5}}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

答案： 【解析】：
本题主要考察正弦定理的应用以及三角函数的基本性质。
首先，我们需要利用正弦定理求出$\sin B$的值，正弦定理在任意三角形中有如下形式：
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。
将已知的$a=15$, $b=20$, $A=30^{\circ}$代入正弦定理，可以得到：
$\frac{15}{\sin 30^{\circ}} = \frac{20}{\sin B}$。
解这个方程可以得到$\sin B$的值：
$\sin B = \frac{20 × \sin 30^{\circ}}{15} = \frac{20 × \frac{1}{2}}{15} = \frac{2}{3} × 2 × \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$。
由于$a ＜ b$，根据三角形的性质，小边对小角，所以$A ＜ B$，且$B$为锐角或钝角。
我们需要利用同角三角函数的基本关系式求出$\cos B$的值。同角三角函数的基本关系式为：
$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$。
将$\sin B = \frac{2}{3}$代入上式，可以解出$\cos B$：
$\cos B = \pm \sqrt{1 - \sin^2 B} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$。
但是，由于$B$为锐角或钝角，且$\sin B = \frac{2}{3} ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$（即$B ＜ 45^\circ$或$B ＞ 135^\circ$），结合$A = 30^\circ$和$a ＜ b$，我们可以推断出$B$只能是锐角，因此$\cos B$应为正，所以：
$\cos B = \frac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】：D. $\frac{\sqrt{5}}{3}$。

11. 如图,$\triangle ABC是边长为2\sqrt{3}$的正三角形,$P是以C$为圆心,半径为1的圆上任意一点,则$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}$的可能取值是 (BC)
A.0
B.1
C.13
D.14

答案： 1. 首先，建立平面直角坐标系：
因为$\triangle ABC$是边长为$2\sqrt{3}$的正三角形，设$C(0,\ 3)$，$A(-\sqrt{3},0)$，$B(\sqrt{3},0)$，圆$C$的方程为$x^{2}+(y - 3)^{2}=1$，设$P(\cos\theta,3+\sin\theta)$（根据圆的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x = r\cos\theta\\y=y_0 + r\sin\theta\end{array}\right.$，这里$r = 1$，$(x_0,y_0)=(0,3)$）。
2. 然后，计算向量$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{BP}$：
$\overrightarrow{AP}=(\cos\theta+\sqrt{3},3 + \sin\theta)$，$\overrightarrow{BP}=(\cos\theta-\sqrt{3},3+\sin\theta)$。
3. 接着，计算$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}$：
根据向量数量积公式$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=(\cos\theta+\sqrt{3})(\cos\theta - \sqrt{3})+(3 + \sin\theta)^{2}$。
由平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$和完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$展开得：
$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=\cos^{2}\theta-3+9 + 6\sin\theta+\sin^{2}\theta$。
因为$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1$，所以$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=1 - 3+9+6\sin\theta=7 + 6\sin\theta$。
4. 最后，求$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}$的取值范围：
因为$-1\leqslant\sin\theta\leqslant1$，所以当$\sin\theta=-1$时，$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}$取得最小值$7-6 = 1$；当$\sin\theta = 1$时，$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}$取得最大值$7 + 6=13$。
即$1\leqslant\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}\leqslant13$。
所以$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}$的可能取值是$1$，$13$，答案是BC。

12. 在$\triangle ABC$中,$a= 3\sqrt{2}$,$b= 2\sqrt{3}$,$\cos C= \frac{1}{3}$,则$\triangle ABC$的面积为$4\sqrt{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了三角形面积的计算，具体是使用了余弦定理和三角形面积公式。
首先，我们知道在任意三角形ABC中，其面积$S_{\triangle ABC}$可以表示为：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C$
但题目中给出的是$\cos C$，我们需要通过同角三角函数的基本关系式来求$\sin C$。
同角三角函数的基本关系式为：
$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$
由此，我们可以解出$\sin C$：
$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C}$
将题目中给出的$\cos C = \frac{1}{3}$代入上式，得到：
$\sin C = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
然后，将$a = 3\sqrt{2}$，$b = 2\sqrt{3}$和求得的$\sin C = \frac{2\sqrt{2}}{3}$代入三角形面积的公式，得到：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × 2\sqrt{3} × \frac{2\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{3}$
【答案】：
$4\sqrt{3}$

13. 在$\triangle ABC$中,角$A$,$B$,$C所对的边分别为a$,$b$,$c$.若$a= \sqrt{7}$,$b= 2$,$A= 60^{\circ}$,则$\sin B= $$\frac{\sqrt{21}}{7}$,$c= $3.

答案： 【解析】：
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用。
首先，我们可以利用正弦定理来求解$\sin B$。
正弦定理公式为：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$，
将已知的$a = \sqrt{7}$，$A = 60^{\circ}$，$b = 2$代入公式，得到：
$\frac{\sqrt{7}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{2}{\sin B}$，
化简得：
$\sin B = \frac{2 × \sin 60^{\circ}}{\sqrt{7}} = \frac{2 × \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$。
接下来，我们利用余弦定理来求解$c$。
余弦定理公式为：$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$，
将已知的$a = \sqrt{7}$，$A = 60^{\circ}$，$b = 2$代入公式，得到：
$7 = 4 + c^{2} - 2 × 2 × c × \frac{1}{2}$，
化简得：
$c^{2} - 2c - 3 = 0$，
解这个一元二次方程，得到$c = 3$或$c = -1$。
由于边长不能为负，所以$c = 3$。
【答案】：
$\sin B = \frac{\sqrt{21}}{7}$；$c = 3$。

14. 如图所示为一角槽,已知$AB\perp AD$,$AB\perp BE$,并测量得$AC= 3mm$,$BC= 2\sqrt{2}mm$,$AB= \sqrt{29}mm$,则$\angle ACB= $$\frac{3\pi}{4}$（或$135^\circ$）.

答案： 【解析】：
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用。
在$\bigtriangleup ABC$中，已知三边长度，
我们可以利用余弦定理来求解$\angle ACB$。
余弦定理公式为：$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$，
其中，$a$、$b$为三角形的两边，$c$为与角$C$相对的边。
将已知的$AC=3mm$，$BC=2\sqrt{2}mm$，$AB=\sqrt{29}mm$代入余弦定理公式中，
得到：$\cos\angle ACB = \frac{AC^{2} + BC^{2} - AB^{2}}{2 × AC × BC}$
$= \frac{3^{2} + (2\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{29})^{2}}{2 × 3 × 2\sqrt{2}}$
$= \frac{9 + 8 - 29}{12\sqrt{2}}$
$= \frac{-12}{12\sqrt{2}}$
$= - \frac{\sqrt{2}}{2}$，
由于$\angle ACB$的取值范围在$(0, \pi)$，且$\cos\angle ACB = - \frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以我们可以得出：$\angle ACB = \frac{3\pi}{4}=135^\circ$。
【答案】：$\frac{3\pi}{4}$（或$135^\circ$）。