《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

1.已知$\overrightarrow {AB}= (1,3)$,且点$A(-2,5)$,则点$B$的坐标为 (B)
A.$(1,8)$
B.$(-1,8)$
C.$(3,2)$
D.$(-3,2)$

答案： 【解析】：
本题主要考查平面向量的坐标表示以及向量坐标的运算。
已知向量$\overrightarrow {AB}$的坐标为$(1,3)$，点$A$的坐标为$(-2,5)$，设点$B$的坐标为$(x,y)$。
根据向量的坐标表示法，有
$\overrightarrow {AB} = (x - (-2), y - 5) = (x + 2, y - 5)$
由于题目给出$\overrightarrow {AB} = (1,3)$，因此可以建立如下方程组：
$\begin{cases}x + 2 = 1 \\y - 5 = 3\end{cases}$
解这个方程组，得到
$\begin{cases}x = -1 \\y = 8\end{cases}$
所以，点$B$的坐标为$(-1,8)$。
【答案】：
B. $(-1,8)$。

2.已知在$□ ABCD$中,点$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(1,-5)$,则点$D$的坐标为 (D)
A.$(-2,5)$
B.$(-3,5)$
C.$(5,-5)$
D.$(-3,-5)$

答案： 【解析】：
本题考查的是平面向量基本定理及坐标表示。在平行四边形$ABCD$中，由于$AB$和$CD$平行且等长，我们可以通过计算向量$\overrightarrow{AB}$，然后利用平行四边形的性质，得到向量$\overrightarrow{DC}$，从而确定点$D$的坐标。
首先，计算向量$\overrightarrow{AB}$：
$\overrightarrow{AB} = B - A = (3, 0) - (-1, 0) = (4, 0)$。
接着，由于$AB$和$CD$平行且等长，所以向量$\overrightarrow{DC}$应该与向量$\overrightarrow{AB}$相等，即：
$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = (4, 0)$
现在，我们知道点$C$的坐标为$(1, -5)$，设点$D$的坐标为$(x, y)$，则向量$\overrightarrow{DC}$可以表示为：
$\overrightarrow{DC} = C - D = (1 - x, -5 - y)$
由于$\overrightarrow{DC} = (4, 0)$，我们可以列出方程组：
$\begin{cases}1 - x = 4, \\-5 - y = 0,\end{cases}$
解这个方程组，我们得到：
$x = -3, \quad y = -5$，
所以，点$D$的坐标为$(-3, -5)$。
【答案】：D. $(-3, -5)$。

3.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 (B)
A.$\boldsymbol {e}_{1}= (0,0)$,$\boldsymbol {e}_{2}= (1,-2)$
B.$\boldsymbol {e}_{1}= (-1,2)$,$\boldsymbol {e}_{2}= (5,7)$
C.$\boldsymbol {e}_{1}= (3,5)$,$\boldsymbol {e}_{2}= (6,10)$
D.$\boldsymbol {e}_{1}= (2,-3)$,$\boldsymbol {e}_{2}= (\frac {1}{2},-\frac {3}{4})$

答案： 【解析】：
本题考查平面向量的基本定理及坐标表示，要判断向量组是否能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，需要判断这两个向量是否共线。若两向量共线，则它们不能作为基底；若两向量不共线，则它们可以作为基底。
向量共线的条件是它们的坐标成比例，即对于向量$\boldsymbol {e}_{1}=(x_1, y_1)$和$\boldsymbol {e}_{2}=(x_2, y_2)$，若$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$，则两向量共线。
对于选项A，$\boldsymbol {e}_{1}= (0,0)$，$\boldsymbol {e}_{2}= (1,-2)$，由于$\boldsymbol {e}_{1}$是零向量，根据定义，零向量与任意向量都共线，所以A选项不能作为基底。
对于选项B，$\boldsymbol {e}_{1}= (-1,2)$，$\boldsymbol {e}_{2}= (5,7)$，计算$\frac{-1}{5} \neq \frac{2}{7}$，说明两向量不共线，所以B选项能作为基底。
对于选项C，$\boldsymbol {e}_{1}= (3,5)$，$\boldsymbol {e}_{2}= (6,10)$，计算$\frac{3}{6} = \frac{5}{10}$，说明两向量共线，所以C选项不能作为基底。
对于选项D，$\boldsymbol {e}_{1}= (2,-3)$，$\boldsymbol {e}_{2}= (\frac {1}{2},-\frac {3}{4})$，计算$\frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{-3}{-\frac{3}{4}}$，说明两向量共线，所以D选项不能作为基底。
【答案】：
B

4.已知两点$A(4,1)$,$B(7,-3)$,则与向量$\overrightarrow {AB}$共线的单位向量是 (B)
A.$(3,-4)$
B.$(-\frac {3}{5},\frac {4}{5})$
C.$(-6,8)$
D.$(\frac {4}{5},-\frac {3}{5})$

答案： 解：
1. 计算向量$\overrightarrow{AB}$：
$\overrightarrow{AB} = (7 - 4, -3 - 1) = (3, -4)$
2. 计算$\overrightarrow{AB}$的模：
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
3. 求与$\overrightarrow{AB}$共线的单位向量：
单位向量为$\pm \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \pm \left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$，即$\left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$或$\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$
4. 选项中符合的为B
答案：B

5. (2023·新高考Ⅰ卷)已知向量$\boldsymbol {a}= (1,1)$,$\boldsymbol {b}= (1,-1)$,若$(\boldsymbol {a}+\lambda \boldsymbol {b})⊥(\boldsymbol {a}+\mu \boldsymbol {b})$,则 (D)
A.$\lambda +\mu =1$
B.$\lambda +\mu =-1$
C.$\lambda \mu =1$
D.$\lambda \mu =-1$

答案： 【解析】：
本题主要考查向量的坐标运算和向量垂直的充要条件。
首先，根据向量的坐标运算，有：
$\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b} = (1 + \lambda, 1 - \lambda)$，
$\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b} = (1 + \mu, 1 - \mu)$，
由于$(\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}) \perp (\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b})$，根据向量垂直的充要条件，有：
$(\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}) = 0$，
将向量的坐标代入，得到：
$(1 + \lambda)(1 + \mu) + (1 - \lambda)(1 - \mu) = 0$，
展开并化简，得到：
$1 + \mu + \lambda + \lambda\mu + 1 - \mu - \lambda + \lambda\mu = 0$，
$2 + 2\lambda\mu = 0$，
$\lambda\mu = -1$，
另外，我们也可以从另一个角度理解这个等式。由于$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$是正交向量（即$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$），且它们的模长相等（即$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$），因此$\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$和$\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}$可以看作是旋转后的向量。当这两个向量垂直时，它们的长度必须相等但方向垂直，这意味着$\lambda$和$\mu$作为旋转因子，它们的乘积必须为-1，以保证方向相反且模长相等（在实数范围内内，这可以通过考虑向量的旋转和伸缩来理解）。
所以，D选项正确。
【答案】：
D. $\lambda \mu = -1$。

6.已知向量$\boldsymbol {a}= (1,\sqrt {3})$,$\boldsymbol {b}= (-2,2\sqrt {3})$,则$\boldsymbol {a}与\boldsymbol {b}$的夹角是 (C)
A.$\frac {π}{6}$
B.$\frac {π}{4}$
C.$\frac {π}{3}$
D.$\frac {π}{2}$

答案： 【解析】：
本题主要考查向量的夹角公式。
根据向量的数量积公式，有
$\cos\theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}|}$
其中，$\theta$ 是向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角。
首先，计算向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的数量积：
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 × (-2) + \sqrt{3} × 2\sqrt{3} = -2 + 6 = 4$
接着，计算向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的模：
$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$
将上述结果代入夹角公式，得到
$\cos\theta = \frac{4}{2 × 4} = \frac{1}{2}$
由于$0 \leq \theta \leq \pi$，且$\cos\theta = \frac{1}{2}$，所以$\theta = \frac{\pi}{3}$。
【答案】：
C. $\frac{\pi}{3}$

7. (多选题)下列各式不正确的是 (ACD)
A.若$\boldsymbol {a}= (-2,4)$,$\boldsymbol {b}= (3,4)$,则$\boldsymbol {a}-\boldsymbol {b}= (1,0)$
B.若$\boldsymbol {a}= (5,2)$,$\boldsymbol {b}= (2,4)$,则$\boldsymbol {b}-\boldsymbol {a}= (-3,2)$
C.若$\boldsymbol {a}= (1,0)$,$\boldsymbol {b}= (0,1)$,则$\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}= (0,1)$
D.若$\boldsymbol {a}= (1,1)$,$\boldsymbol {b}= (1,-2)$,则$\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}= (2,1)$

答案： 【解析】：
本题主要考察平面向量的坐标运算，包括向量的加法和减法。
对于选项A，有$\boldsymbol{a}= (-2,4)$，$\boldsymbol{b}= (3,4)$，
则$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (-2-3, 4-4) = (-5, 0)$，
与选项A中的$(1,0)$不符，
所以A错误。
对于选项B，有$\boldsymbol{a}= (5,2)$，$\boldsymbol{b}= (2,4)$，
则$\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} = (2-5, 4-2) = (-3,2)$，
与选项B中的$(-3,2)$相符，
所以B正确。
对于选项C，有$\boldsymbol{a}= (1,0)$，$\boldsymbol{b}= (0,1)$，
则$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (1+0, 0+1) = (1,1)$，
与选项C中的$(0,1)$不符，
所以C错误。
对于选项D，有$\boldsymbol{a}= (1,1)$，$\boldsymbol{b}= (1,-2)$，
则$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (1+1, 1-2) = (2,-1)$，
与选项D中的$(2,1)$不符，
所以D错误。
题目要求选择不正确的选项，所以选择A，C，D。
【答案】：
ACD

8. (多选题)设向量$\boldsymbol {a}= (1,0)$,$\boldsymbol {b}= (\frac {1}{2},\frac {1}{2})$,则下列结论中错误的是 (A；B；C)
A.$|\boldsymbol {a}|= |\boldsymbol {b}|$
B.$\boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol {b}= \frac {\sqrt {2}}{2}$
C.$\boldsymbol {a}// \boldsymbol {b}$
D.$\boldsymbol {a}-\boldsymbol {b}与\boldsymbol {b}$垂直

答案： 【解析】：
本题主要考查平面向量的基本性质，包括向量的模、数量积、平行与垂直的判断。
对于选项A，需要计算两个向量的模并比较它们是否相等。
对于选项B，需要计算两个向量的数量积并与给定值进行比较。
对于选项C，需要判断两个向量是否平行。
对于选项D，需要利用数量积的性质判断两个向量是否垂直。
接下来，我们逐一进行计算和判断：
A. 计算向量$\boldsymbol {a}$和$\boldsymbol {b}$的模：
$|\boldsymbol {a}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$
$|\boldsymbol {b}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
显然，$|\boldsymbol {a}| \neq |\boldsymbol {b}|$，所以A选项错误。
B. 计算向量$\boldsymbol {a}$和$\boldsymbol {b}$的数量积：
$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = 1 × \frac{1}{2} + 0 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
显然，$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以B选项错误。
C. 判断向量$\boldsymbol {a}$和$\boldsymbol {b}$是否平行：
两个向量平行当且仅当它们的坐标成比例。
在这里，$\frac{1}{\frac{1}{2}} \neq \frac{0}{\frac{1}{2}}$，所以$\boldsymbol {a}$和$\boldsymbol {b}$不平行，C选项错误。
D. 判断向量$\boldsymbol {a} - \boldsymbol {b}$与$\boldsymbol {b}$是否垂直：
两个向量垂直当且仅当它们的数量积为0。
$\boldsymbol {a} - \boldsymbol {b} = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$
$(\boldsymbol {a} - \boldsymbol {b}) \cdot \boldsymbol {b} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) × \frac{1}{2} = 0$
所以，$\boldsymbol {a} - \boldsymbol {b}$与$\boldsymbol {b}$垂直，D选项正确。
由于题目要求选择错误的选项，所以答案是A、B、C。
【答案】：
A；B；C

9.已知向量$\boldsymbol {a}= (x,1)$,$\boldsymbol {b}= (1,x)$方向相同,则$x$= ______1.

答案： 【解析】：
已知向量$\boldsymbol{a} = (x,1)$和$\boldsymbol{b} = (1,x)$方向相同，那么存在一个正实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$。
将向量坐标代入上述等式，得到：
$(x,1) = \lambda(1,x)$
这可以拆分为两个方程：
$x = \lambda$
$1 = \lambda x$
将第一个方程代入第二个方程，得到：
$1 = x^2$
解这个方程，我们得到两个$x = 1$ 和 $x = -1$。
但是，当$x = -1$时，$\boldsymbol{a} = (-1,1)$和$\boldsymbol{b} = (1,-1)$，这两个向量的方向是相反的，与题目要求的“方向相同”矛盾。
因此，只有$x = 1$满足条件。
【答案】：
$1$

10.已知向量$\overrightarrow {OA}= (3,-4)$,$\overrightarrow {OB}= (6,-3)$,$\overrightarrow {OC}= (5 - m,-(3 + m))$.若$\triangle ABC$为直角三角形,且$∠A$为直角,则实数$m$的值为$\frac{7}{4}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查向量的坐标表示和向量垂直的性质。
首先，根据题目给出的向量$\overrightarrow {OA}= (3,-4)$，$\overrightarrow {OB}= (6,-3)$，$\overrightarrow {OC}= (5 - m,-(3 + m))$，可以计算出向量$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$。
向量$\overrightarrow {AB}$的坐标为$\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = (6-3, -3-(-4)) = (3,1)$。
向量$\overrightarrow {AC}$的坐标为$\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} = ((5-m)-3, -(3+m)-(-4)) = (2-m,1-m)$。
由于$\triangle ABC$是直角三角形，并且$\angle A$为直角，根据向量的性质，有$\overrightarrow {AB} \perp \overrightarrow {AC}$，即$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$。
将$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的坐标代入数量积的坐标表示公式，得到：
$3(2-m) + 1(1-m) = 0$
解这个方程，得到：
$6 - 3m + 1 - m = 0$
$7 - 4m = 0$
$m = \frac{7}{4}$
【答案】：
$m = \frac{7}{4}$

11.已知正方形$ABCD$的边长为1,点$E是AB$边上的动点,则$\overrightarrow {DE}\cdot \overrightarrow {CB}$的值为1; $\overrightarrow {DE}\cdot \overrightarrow {DC}$的最大值为1.

答案： 解：以A为原点，AB,AD所在直线为x轴,y轴建立直角坐标系.则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).设E(t,0),0≤t≤1.
$\overrightarrow{DE}=(t-0,0-1)=(t,-1)$,$\overrightarrow{CB}=(1-1,0-1)=(0,-1)$,$\overrightarrow{DC}=(1-0,1-1)=(1,0)$.
$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{CB}=t×0+(-1)×(-1)=1$.
$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DC}=t×1+(-1)×0=t$.
因为0≤t≤1,所以$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DC}$的最大值为1.
1;1

12.在平面直角坐标系中,$O$为原点,$A(-1,0)$,$B(0,\sqrt {3})$,$C(3,0)$,动点$D满足|\overrightarrow {CD}|= 1$,则$|\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OD}|$的最大值是______$\sqrt{7} + 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考察平面向量的坐标表示及模的计算。
首先，根据题意，点C的坐标为$C(3,0)$，动点D满足$|\overrightarrow {CD}|= 1$，因此点D的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆。
设动点D的坐标为$D(x,y)$，由于D在圆上，所以有：
$(x - 3)^{2} + y^{2} = 1$
接下来，根据向量的加法，有：
$\overrightarrow {OA} = (-1,0)$
$\overrightarrow {OB} = (0,\sqrt {3})$
$\overrightarrow {OD} = (x,y)$
所以，
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = (-1 + 0 + x, 0 + \sqrt {3} + y) = (x - 1, y + \sqrt {3})$
求该向量的模，有：
$|\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD}| = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + \sqrt {3})^{2}}$
为了求该模的最大值，考虑到D点在以C为圆心，半径为1的圆上运动，我们可以将上述表达式看作点$(x,y)$到点$(1, -\sqrt {3})$的距离。由于D点在圆上，其到圆心C的距离为1，所以模的最大值就是点$(1, -\sqrt {3})$到圆心C的距离加上圆的半径。
计算点$(1, -\sqrt {3})$到圆心C的距离：
$d = \sqrt{(3 - 1)^{2} + (0 + \sqrt {3})^{2}} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$
所以，$|\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD}|$的最大值为：
$\sqrt{7} + 1$
【答案】：
$\sqrt{7} + 1$

13.已知$\boldsymbol {a}= (-1,2)$,$\boldsymbol {b}= (2,1)$,求:
(1)$2\boldsymbol {a}+3\boldsymbol {b}$.
(2)$\boldsymbol {a}-3\boldsymbol {b}$.
(3)$\frac {1}{2}\boldsymbol {a}-\frac {1}{3}\boldsymbol {b}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查平面向量的坐标运算，包括向量的加法、减法以及数乘运算。
对于向量$\boldsymbol{a}= (x_1, y_1)$和$\boldsymbol{b}= (x_2, y_2)$，有：
1. 向量加法：$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
2. 向量减法：$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$
3. 数乘运算：$k\boldsymbol{a} = (kx_1, ky_1)$，其中$k$为实数。
根据这些规则，我们可以求解题目中的各个表达式。
【答案】：
(1)
解：根据数乘和加法的规则，有
$2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b} = 2(-1, 2) + 3(2, 1) = (-2, 4) + (6, 3) = (4, 7)$
(2)
解：根据减法和数乘的规则，有
$\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} = (-1, 2) - 3(2, 1) = (-1, 2) - (6, 3) = (-7, -1)$
(3)
解：同样根据数乘和减法的规则，有
$\frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \frac{1}{3}\boldsymbol{b} = \frac{1}{2}(-1, 2) - \frac{1}{3}(2, 1) = (-\frac{1}{2}, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}) = (-\frac{7}{6}, \frac{2}{3})$