《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

1.如图所示,四边形ABCD是梯形,$AD// BC$,则$\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AB}= $(B)
A.$\overrightarrow {CD}$
B.$\overrightarrow {OC}$
C.$\overrightarrow {DA}$
D.$\overrightarrow {CO}$

答案： 解：$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}$，
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC}$，
所以$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC}$。
答案：B

2.下列各式:
①$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CA}$;②$\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}-\overrightarrow {CD}$;
③$\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {AD}$;④$\overrightarrow {NO}+\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {MN}-\overrightarrow {MP}$.
其中结果为零向量的个数是(D)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 【解析】：
本题主要考查平面向量的加减运算及其性质。
对于①：根据向量加法的几何意义，有$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}$，所以$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {0}$，故①的结果为零向量。
对于②：根据向量加法的几何意义，有$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}$，$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AD}$，
所以$\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}-\overrightarrow {CD}=(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BD})-(\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CD})=\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {0}$，故②的结果为零向量。
对于③：根据向量加法的几何意义，有$\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {OD}$，
所以$\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {OA}+(\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {OD})=\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {0}$，
但此处的推理过程虽然最终结果正确，中间步骤的逻辑顺序不完全符合题目要求的直接计算，
但按照题目的直接计算要求，可以验证$\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {0}$，故③的结果为零向量。
对于④：根据向量加法的几何意义，有$\overrightarrow {NO}+\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {NP}$，$\overrightarrow {MN}-\overrightarrow {MP}=\overrightarrow {PN}$，
所以$\overrightarrow {NO}+\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {MN}-\overrightarrow {MP}=\overrightarrow {NP}+\overrightarrow {PN}=\overrightarrow {0}$，故④的结果为零向量。
综上，四个式子的结果都是零向量。
【答案】：D.4个。

3.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,$|\overrightarrow {BC}|^{2}= 16,|\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}|= |\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}|$,则$|\overrightarrow {AM}|=$(C)
A.8
B.4
C.2
D.1

答案： 解：
∵M是线段BC的中点，
∴$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。
∵$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$，
两边平方得$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})^2 = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})^2$，
展开得$\overrightarrow{AB}^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^2 = \overrightarrow{AB}^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^2$，
化简得$4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$，即$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$。
在Rt△ABC中，M为BC中点，
∴$|\overrightarrow{AM}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|$。
∵$|\overrightarrow{BC}|^2 = 16$，
∴$|\overrightarrow{BC}| = 4$，
∴$|\overrightarrow{AM}| = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
答案：C

4.设$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$是两个不共线的向量,若向量$\boldsymbol{a}= 2\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$,与向量$\boldsymbol{b}= \boldsymbol{e}_{1}+\lambda \boldsymbol{e}_{2}(\lambda \in \mathbf{R})$共线,则当且仅当λ的值为(D)
A.0
B.-1
C.-2
D.$-\frac {1}{2}$

答案： 【解析】：
本题主要考查向量的共线性质。
根据向量共线的性质，存在实数$k$，使得$\boldsymbol{a} = k\boldsymbol{b}$。
将$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的表达式代入，得到：
$2\boldsymbol{e}_{1} - \boldsymbol{e}_{2} = k(\boldsymbol{e}_{1} + \lambda \boldsymbol{e}_{2})$。
展开后，得到：
$2\boldsymbol{e}_{1} - \boldsymbol{e}_{2} = k\boldsymbol{e}_{1} + k\lambda \boldsymbol{e}_{2}$。
由于$\boldsymbol{e}_{1}$和$\boldsymbol{e}_{2}$是不共线的向量，因此它们的系数必须分别相等，即：
$2 = k$，
$-1 = k\lambda$。
解这个方程组，得到：
$k = 2$，
$\lambda = -\frac{1}{2}$。
【答案】：
D. $-\frac{1}{2}$。

5.已知非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$,则“$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}= \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}$”是“$\boldsymbol{a}= \boldsymbol{b}$”的(B)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 解：若$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$，则$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = 0$，可得$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{c}$垂直或$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$，故“$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$”不能推出“$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$”；
若$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$，所以$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0} \cdot \boldsymbol{c} = 0$，即$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$，故“$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$”能推出“$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$”。
综上，“$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$”是“$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$”的必要不充分条件。
答案：B

6.已知$|\boldsymbol{a}|= 3,\boldsymbol{a}与\boldsymbol{b}的夹角为120^{\circ }$,则$\boldsymbol{a}在\boldsymbol{b}$上的投影向量的模为(A)
A.$\frac {3}{2}$
B.$\frac {3\sqrt {3}}{2}$
C.2
D.$2\sqrt {3}$

答案： 解：向量$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量的模为$|\boldsymbol{a}|\cos\theta$，其中$\theta$为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角。
已知$|\boldsymbol{a}| = 3$，$\theta = 120^{\circ}$，则$\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}$。
所以投影向量的模为$3×\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{3}{2}$。
答案：A

7.(多选题)在平行四边形ABCD中,下列结论正确的是(A,B,D)
A.$\overrightarrow {AB}= \overrightarrow {DC}$
B.$\overrightarrow {AC}= \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}$
C.$\overrightarrow {BD}= \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}$
D.$\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {CB}= \boldsymbol{0}$

答案： 【解析】：
本题考查平面向量的基本性质及其运算规则。在平行四边形中，对向量加法、减法以及数乘等运算进行考察。
A选项：在平行四边形ABCD中，由于AB和DC是平行且等长的，所以向量$\overrightarrow {AB}$与$\overrightarrow {DC}$是相等的，即$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$，所以A选项正确。
B选项：根据向量加法的平行四边形法则，$\overrightarrow {AC}$作为平行四边形的对角线，它等于两个相邻边$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AD}$的和，即$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$，所以B选项正确。
C选项：同样根据向量加法的平行四边形法则，$\overrightarrow {BD}$应该等于$\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}$（或者$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD}$的相反数），而不是$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$，所以C选项错误。
D选项：在平行四边形中，$\overrightarrow {AD}$和$\overrightarrow {CB}$是大小相等、方向相反的向量，即$\overrightarrow {AD} = -\overrightarrow {CB}$，所以它们的和为$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = \boldsymbol{0}$，D选项正确。
【答案】：
A, B, D

8.(多选题)在平行四边形ABCD中,$\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {DC}-\overrightarrow {CB}$等于(CD)
A.$\overrightarrow {AC}$
B.$\overrightarrow {BD}$
C.$\overrightarrow {AD}$
D.$\overrightarrow {BC}$

答案： 解：在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$。
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$。
又因为平行四边形中$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$。
答案：CD

9.已知$|\boldsymbol{a}|= 2,|\boldsymbol{b}|= 1$,且$\boldsymbol{a}与\boldsymbol{b}的夹角为\frac {π}{3}$,则向量$\boldsymbol{m}= \boldsymbol{a}-4\boldsymbol{b}$的模为$2\sqrt{3}$.

答案： 解：已知$|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 1$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$。
向量$\boldsymbol{m} = \boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{m}|^2 = (\boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a}|^2 - 8\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 16|\boldsymbol{b}|^2$。
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\frac{\pi}{3} = 2×1×\frac{1}{2} = 1$。
代入得$|\boldsymbol{m}|^2 = 2^2 - 8×1 + 16×1^2 = 4 - 8 + 16 = 12$，故$|\boldsymbol{m}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
答案：$2\sqrt{3}$

10.已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}的夹角为45^{\circ }$,且$|\boldsymbol{a}|= 4,(\frac {1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b})= 12$,则$|\boldsymbol{b}|= $$\sqrt{2}$;$\boldsymbol{b}在\boldsymbol{a}$方向上的投影向量等于$\frac{1}{4}\boldsymbol{a}$.

答案： 解：设$|\boldsymbol{b}| = x$。
因为向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角为$45^{\circ}$，且$|\boldsymbol{a}| = 4$，所以$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos 45^{\circ} = 4x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}x$。
$(\frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} \cdot 2\boldsymbol{a} - \frac{1}{2}\boldsymbol{a} \cdot 3\boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot 2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b}$
$= |\boldsymbol{a}|^2 + (\frac{1}{2} × 2 - \frac{3}{2}) \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - 3|\boldsymbol{b}|^2$
$= 16 + (\frac{1}{2}) × 2\sqrt{2}x - 3x^2$
$= 16 + \sqrt{2}x - 3x^2$
已知$(\frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) = 12$，则$16 + \sqrt{2}x - 3x^2 = 12$，即$3x^2 - \sqrt{2}x - 4 = 0$。
解得$x = \sqrt{2}$或$x = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$（舍去），所以$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{2}$。
$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$方向上的投影向量为$|\boldsymbol{b}| \cos 45^{\circ} \cdot \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\boldsymbol{a}}{4} = \frac{1}{4}\boldsymbol{a}$。
$\sqrt{2}$；$\frac{1}{4}\boldsymbol{a}$

11.如图,D,E分别是$\triangle ABC$的边AB,BC上的点,$AD= \frac {1}{2}AB,BE= \frac {2}{3}BC$.若$\overrightarrow {DE}= \lambda _{1}\overrightarrow {AB}+\lambda _{2}\overrightarrow {AC}(\lambda _{1},\lambda _{2}$为实数),则$\lambda _{1}+\lambda _{2}$的值为______.

$\frac{1}{2}$

答案： 【解析】：
本题主要考查了平面向量的线性运算。
根据题意，$D$是$AB$的中点，所以$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
$E$是$BC$上靠近$B$的三等分点，所以$\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
由于$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE}$，
可以得到$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
又因为$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$，
进一步化简，得到$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} = -\frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
由于题目给出$\overrightarrow{DE} = \lambda_{1}\overrightarrow{AB} + \lambda_{2}\overrightarrow{AC}$，
通过比较系数，我们可以得到$\lambda_{1} = -\frac{1}{6}, \quad \lambda_{2} = \frac{2}{3}$，
所以，$\lambda_{1} + \lambda_{2} = -\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$。
【答案】：
$\frac{1}{2}$

12.(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}满足|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|= \sqrt {3},|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|= |2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,则$|\boldsymbol{b}|= $______$\sqrt{3}$。

答案： 【解析】：
本题主要考查向量的模长公式和向量的运算。
首先，根据题目给出的条件，有
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$，
$|\vec{a} + \vec{b}| = |2\vec{a} - \vec{b}|$，
对第一个等式两边平方，得到
$(a - b)^{2} = 3$，
即
${\vec{a}}^{2} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = 3 \quad \text{(1)}$，
对第二个等式两边平方，得到
$(\vec{a} +\vec{b})^{2} = (2\vec{a} - \vec{b})^{2}$，
即
${\vec{a}}^{2} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} +{\vec{b}}^{2} = 4{\vec{a}}^{2} - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$，
化简后得到
$3{\vec{a}}^{2} - 6\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，
即
${\vec{a}}^{2} = 2\vec{a} \cdot \vec{b} \quad \text{(2)}$，
将
(2)式代入
(1)式，得到
$2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = 3$，
即
${\vec{b}}^{2} = 3$，
所以
$|\vec{b}| = \sqrt{3}$。
【答案】：
$\sqrt{3}$。

13.已知非零向量$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$不共线.
(1)如果$\overrightarrow {AB}= \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},\overrightarrow {BC}= 2\boldsymbol{e}_{1}+8\boldsymbol{e}_{2},\overrightarrow {CD}= 3(\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})$,求证:A,B,D三点共线.
(2)欲使$k\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}和\boldsymbol{e}_{1}+k\boldsymbol{e}_{2}$共线,试确定实数k的值.

答案： 【解析】：
(1)为了证明A,B,D三点共线，我们需要证明向量$\overrightarrow {AB}$与向量$\overrightarrow {BD}$共线。
第一步，根据题目已知，我们可以得到向量$\overrightarrow {BD}$的表达式：
$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = (2\boldsymbol{e}_{1}+8\boldsymbol{e}_{2}) + 3(\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}) = 5\boldsymbol{e}_{1}+5\boldsymbol{e}_{2}$。
第二步，根据向量的共线性，如果两向量共线，那么存在一个实数$\lambda$，使得$\overrightarrow {AB} = \lambda \overrightarrow {BD}$。将$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {BD}$的表达式代入，我们得到：
$\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2} = \lambda (5\boldsymbol{e}_{1}+5\boldsymbol{e}_{2})$。
第三步，解这个方程，我们可以得到$\lambda = \frac{1}{5}$。
第四步，由于$\lambda$存在，所以$\overrightarrow {AB}$与$\overrightarrow {BD}$共线，因此A,B,D三点共线。
(2)为了确定实数k的值使得$k\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}$和$\boldsymbol{e}_{1}+k\boldsymbol{e}_{2}$共线，我们可以按照以下步骤推导：
第一步，根据向量的共线性，如果两向量共线，那么存在一个实数$\mu$，使得$k\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2} = \mu (\boldsymbol{e}_{1}+k\boldsymbol{e}_{2})$。
第二步，将上述等式展开，我们得到两个方程：
$k = \mu$ 和 $1 = \mu k$。
第三步，解这两个方程，我们可以得到$k = \pm 1$。
【答案】：
(1)证明见解析，A,B,D三点共线。
(2)$k = \pm 1$。