《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

14.如图,在平面内将两块直角三角板拼接在一起,已知$∠ABC= 45^{\circ },∠BCD= 60^{\circ }$,记$\overrightarrow {AB}= \boldsymbol{a},\overrightarrow {AC}= \boldsymbol{b}$.
(1)试用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}表示向量\overrightarrow {AD},\overrightarrow {CD}$;
(2)若$|\boldsymbol{b}|= 1$,求$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}$.

答案：
(1)$由题可知,\overrightarrow{BD}=\sqrt {3}b,则\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=a+\sqrt {3}b$
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=a+(\sqrt {3}-1)b$
(2)$∵|b|=1,∴|a|=\sqrt {2},a×b=1$
$则\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{CD}=\sqrt {3}+1$

15.已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}满足|\boldsymbol{a}|= |\boldsymbol{b}|= 5$,且$\boldsymbol{a}与\boldsymbol{b}的夹角为60^{\circ }$,求$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|,|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|,|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$.

答案： 【解析】：
本题主要考查向量的模和夹角公式以及向量运算。
首先，知道向量的模的平方可以表示为$|\boldsymbol{v}|^2 = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v}$，其中$\cdot$表示向量的点积。
同时，向量的加减及数乘的模的平方可以表示为：
$|\boldsymbol{u} \pm \boldsymbol{v}|^2 = |\boldsymbol{u}|^2 + |\boldsymbol{v}|^2 \pm 2\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}$，
$|k\boldsymbol{v}|^2 = k^2|\boldsymbol{v}|^2$，其中$k$是标量。
还知道向量的点积公式为$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = |\boldsymbol{u}| × |\boldsymbol{v}| × \cos \theta$，其中$\theta$是两向量的夹角。
根据题目，有$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 5$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$。
所以我们可以计算出：
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 5 × 5 × \cos 60^{\circ} = 25 × \frac{1}{2} = \frac{25}{2}$
接下来，我们分别计算$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$和$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$：
1. 对于$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$，有：
$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 25 + 25 + 2 × \frac{25}{2} = 75$
所以，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$
2. 对于$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，有
$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 25 + 25 - 2 × \frac{25}{2} = 25$
所以，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = \sqrt{25} = 5$
3. 对于$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$，有
$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = 4|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 4 × 25 + 25 + 4 × \frac{25}{2} = 175$
所以，$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}$
【答案】：
$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = 5\sqrt{3}$，
$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 5$，
$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = 5\sqrt{7}$。

16.设两个向量$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}满足|\boldsymbol{e}_{1}|= 2,|\boldsymbol{e}_{2}|= 1,\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}的夹角为60^{\circ }$,若向量$2t\boldsymbol{e}_{1}+7\boldsymbol{e}_{2}与\boldsymbol{e}_{1}+t\boldsymbol{e}_{2}$的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

答案： 解：已知$|\boldsymbol{e}_{1}| = 2$，$|\boldsymbol{e}_{2}| = 1$，$\boldsymbol{e}_{1}$与$\boldsymbol{e}_{2}$的夹角为$60^{\circ}$，则$\boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{2} = |\boldsymbol{e}_{1}| |\boldsymbol{e}_{2}| \cos 60^{\circ} = 2×1×\frac{1}{2} = 1$。
向量$2t\boldsymbol{e}_{1} + 7\boldsymbol{e}_{2}$与$\boldsymbol{e}_{1} + t\boldsymbol{e}_{2}$的夹角为钝角，需满足：
1. 数量积小于0：$(2t\boldsymbol{e}_{1} + 7\boldsymbol{e}_{2}) \cdot (\boldsymbol{e}_{1} + t\boldsymbol{e}_{2}) ＜ 0$
$\begin{aligned}&2t\boldsymbol{e}_{1}^{2} + (2t^{2} + 7)\boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{2} + 7t\boldsymbol{e}_{2}^{2} ＜ 0\\&2t× 2^{2} + (2t^{2} + 7)×1 + 7t×1^{2} ＜ 0\\&8t + 2t^{2} + 7 + 7t ＜ 0\\&2t^{2} + 15t + 7 ＜ 0\\&(2t + 1)(t + 7) ＜ 0\end{aligned}$
解得$-7 ＜ t ＜ -\frac{1}{2}$。
2. 两向量不共线：若共线，则存在$\lambda ＜ 0$，使$2t\boldsymbol{e}_{1} + 7\boldsymbol{e}_{2} = \lambda(\boldsymbol{e}_{1} + t\boldsymbol{e}_{2})$
$\begin{cases}2t = \lambda\\7 = \lambda t\end{cases}$
解得$t = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$，均不在$-7 ＜ t ＜ -\frac{1}{2}$内，故无影响。
综上，实数$t$的取值范围是$-7 ＜ t ＜ -\frac{1}{2}$。
答案：$\left(-7, -\dfrac{1}{2}\right)$

17.已知向量$\boldsymbol{a}与\boldsymbol{b}的夹角为\theta $,定义$\boldsymbol{a}× \boldsymbol{b}为\boldsymbol{a}与\boldsymbol{b}$的“向量积”,且$\boldsymbol{a}× \boldsymbol{b}$是一个向量,它的长度$|\boldsymbol{a}× \boldsymbol{b}|= |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin \theta $,若$|\boldsymbol{u}|= 2,|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}|= 2\sqrt {3},(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\cdot \boldsymbol{u}= 6$,求$|\boldsymbol{u}× (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})|$.

答案： 解：设向量$\boldsymbol{u}$与$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$的夹角为$\alpha$。
由$(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{u}=6$，得$|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}||\boldsymbol{u}|\cos\alpha = 6$。
已知$|\boldsymbol{u}|=2$，$|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}|=2\sqrt{3}$，代入上式：$2\sqrt{3}×2\cos\alpha=6$，解得$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$\alpha\in[0,\pi]$，所以$\sin\alpha=\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}=\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{1}{2}$。
根据向量积定义，$|\boldsymbol{u}×(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})|=|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}|\sin\alpha=2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=2\sqrt{3}$。
答案：$2\sqrt{3}$