《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

14.已知$\boldsymbol {a}= (1,1)$,$\boldsymbol {b}= (0,-2)$,当$k$为何值时,
(1)$k\boldsymbol {a}-\boldsymbol {b}与\boldsymbol {a}+2\boldsymbol {b}$垂直.
(2)$k\boldsymbol {a}-\boldsymbol {b}与\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}的夹角为120^{\circ }$.

答案：
(1)
解：
$k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2)$，
$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(1,1)+2(0,-2)=(1,-3)$，
由垂直得$(k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})=0$，
即$k×1+(k+2)×(-3)=0$，
$k-3k-6=0$，
$-2k=6$，
$k=-3$。
(2)
解：
$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1,1)+(0,-2)=(1,-1)$，
$|k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{k^2+(k+2)^2}=\sqrt{2k^2+4k+4}$，
$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$，
$(k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=k×1+(k+2)×(-1)=-2$，
由夹角公式得$\cos120^\circ=\frac{(k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})}{|k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|}$，
即$-\frac{1}{2}=\frac{-2}{\sqrt{2k^2+4k+4}\cdot\sqrt{2}}$，
化简得$\sqrt{2k^2+4k+4}=2$，
平方得$2k^2+4k+4=4$，
$k^2+2k=0$，
$k(k+2)=0$，
$k=0$或$k=-2$。

15.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一单位圆的圆心的初始位置在$(0,1)$,此时圆上一点$P的位置在(0,0)$,圆在$x$轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于$(2,1)$时,求$\overrightarrow {OP}$的坐标.

答案： 解：设滚动后圆心为$C(2,1)$，初始时$P$在$(0,0)$，圆半径$r=1$。
圆滚动距离为$2$，则滚动角$\theta=\frac{2}{r}=2$（弧度）。
初始时$P$为圆的最低点，滚动后$P$点相对圆心$C$的位置向量与竖直方向夹角为$\theta=2$弧度，方向向左下。
$P$相对$C$的坐标为：$(-r\sin\theta,-r\cos\theta)=(-\sin2,-\cos2)$。
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+(-\sin2,-\cos2)=(2-\sin2,1-\cos2)$。
答案：$(2-\sin2,1-\cos2)$

16.用向量的方法,求证$(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}≤(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})$.

答案： 【解析】：
本题主要考察平面向量的数量积性质以及不等式的证明。
我们可以按照以下步骤进行推导：
第一步，设向量$\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})$，向量$\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})$，根据平面向量的数量积定义，有$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
第二步，再根据平面向量的模长公式，向量$\overrightarrow{a}$的模长为$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$，向量$\overrightarrow{b}$的模长为$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$。
第三步，根据平面向量的数量积性质，即$|\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}| \leq |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|$，将第一步和第二步的结果代入，可得$|(x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2})| \leq \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$。
第四步，对第三步的不等式两边同时平方，即可得到$(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2} \leq (x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})$。
因此，我们证明了$(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2} \leq (x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})$。
【答案】：
设向量$\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})$，向量$\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})$，
则$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$，
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$，
$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$，
由$|\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}| \leq |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|$，
可得$|(x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2})| \leq \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$，
平方两边得$(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2} \leq (x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})$。

17.设向量$\boldsymbol {a}= (a_{1},a_{2})$,$\boldsymbol {b}= (b_{1},b_{2})$,定义一种向量积$\boldsymbol {a}\otimes \boldsymbol {b}= (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2})$,已知向量$\boldsymbol {m}= (2,\frac {1}{2})$,$\boldsymbol {n}= (\frac {π}{3},0)$,点$P(x,y)在y= \sin x$的图象上运动,$Q是函数y = f(x)$图象上的点,且满足$\overrightarrow {OQ}= \boldsymbol {m}\otimes \overrightarrow {OP}+\boldsymbol {n}$(其中$O$为坐标原点),求函数$y = f(x)$的值域.

答案： 【解析】：
本题主要考查了向量新定义，平面向量的坐标运算，以及三角函数值域的求解。
首先，根据题目给出的新定义，有向量$\boldsymbol{m} \otimes \overrightarrow{OP} = (2x, \frac{1}{2}y)$。
然后，根据题目给出的$\overrightarrow{OQ} = \boldsymbol{m} \otimes \overrightarrow{OP} + \boldsymbol{n}$，可以得到$Q$点的坐标为$(2x + \frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}y)$。
由于$Q$点在函数$y = f(x)$的图象上，所以有$\frac{1}{2}y = f(2x + \frac{\pi}{3})$。
又因为点$P(x,y)$在$y = \sin x$的图象上运动，所以有$y = \sin x$。
将$y = \sin x$代入$\frac{1}{2}y = f(2x + \frac{\pi}{3})$，得到$f(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sin x$。
为了求出$f(x)$的解析式，我们令$2x + \frac{\pi}{3} = t$，则$x = \frac{1}{2}t - \frac{\pi}{6}$，所以
$f(t) = \frac{1}{2}\sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{6})$
即
$f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6})$
由于$\sin$函数的值域为$[-1,1]$，所以$f(x)$的值域为$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$。
【答案】：
函数$y = f(x)$的值域为$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$。