《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

16. 如图所示,在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,E,F,G,H,分别是$BC,CC_1,C_1D_1,A_1A$的中点,求证:
(1)EG//平面$BB_1D_1D.$
(2)平面BDF//平面$B_1D_1H.$

答案：

(1)证明：取$B_1C_1$中点$M$，连接$EM$，$GM$。
∵$E$，$M$分别为$BC$，$B_1C_1$中点，
∴$EM// BB_1$，且$EM=BB_1$。
∵$G$，$M$分别为$C_1D_1$，$B_1C_1$中点，
∴$GM// B_1D_1$，且$GM=\frac{1}{2}B_1D_1$。
∵$BB_1// DD_1$，$BB_1=DD_1$，$B_1D_1// BD$，
∴平面$EMG//$平面$BB_1D_1D$。
∵$EG\subset$平面$EMG$，
∴$EG//$平面$BB_1D_1D$。
(2)证明：连接$B_1H$，$D_1H$，$BF$，$DF$。
∵$H$为$A_1A$中点，$F$为$CC_1$中点，
∴$AH// FC_1$，$AH=FC_1$，
∴四边形$AHC_1F$为平行四边形，
∴$HC_1// AF$。
∵$D_1C_1// AB$，$D_1C_1=AB$，
∴$D_1H// BF$。
∵$B_1D_1// BD$，$B_1D_1\not\subset$平面$BDF$，$BD\subset$平面$BDF$，
∴$B_1D_1//$平面$BDF$。
∵$D_1H// BF$，$D_1H\not\subset$平面$BDF$，$BF\subset$平面$BDF$，
∴$D_1H//$平面$BDF$。
∵$B_1D_1\cap D_1H=D_1$，
∴平面$BDF//$平面$B_1D_1H$。

17. 如图,在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中,点D为AC的中点,点D_1是A_1C_1上的一点.
(1)当$\frac{A_1D_1}{D_1C_1}$等于何值时,BC_1//平面AB_1D_1.
(2)当BC_1//平面AB_1D_1时,求证:平面BC_1D//平面AB_1D_1.

答案：
(1) 解：连接A₁B交AB₁于点O，连接OD₁。
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁为平行四边形，
∴O为A₁B的中点。
若BC₁//平面AB₁D₁，BC₁⊂平面A₁BC₁，平面A₁BC₁∩平面AB₁D₁=OD₁，
则BC₁//OD₁。
在△A₁BC₁中，O为A₁B中点，OD₁//BC₁，
∴D₁为A₁C₁的中点，即$\frac{A_1D_1}{D_1C_1}=1$。
(2) 证明：由
(1)知D₁为A₁C₁中点，D为AC中点。
在三棱柱中，A₁C₁//AC且A₁C₁=AC，
∴A₁D₁//AD且A₁D₁=AD，
∴四边形ADD₁A₁为平行四边形，
∴DD₁//AA₁且DD₁=AA₁。
又BB₁//AA₁且BB₁=AA₁，
∴DD₁//BB₁且DD₁=BB₁，四边形DBB₁D₁为平行四边形，
∴BD//B₁D₁。
∵BD⊄平面AB₁D₁，B₁D₁⊂平面AB₁D₁，
∴BD//平面AB₁D₁。
由
(1)知BC₁//平面AB₁D₁，BD∩BC₁=B，BD,BC₁⊂平面BC₁D，
∴平面BC₁D//平面AB₁D₁。