《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是 (B)
A.原来相交的仍相交
B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D.原来共点的仍共点

答案： 【解析】：
本题主要考查斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的性质。
斜二测画法是一种用于将平面图形转换为直观图的方法，其中某些性质会发生变化，而某些性质则保持不变。
A选项：在斜二测画法中，如果两条线段在原图中相交，那么在直观图中它们仍然相交。这是因为相交性是由线段的端点和位置决定的，而这些在转换过程中不会改变。所以A选项是正确的。
B选项：在斜二测画法中，原本垂直的线段可能不再垂直。因为斜二测画法保持了x轴方向不变，但对y轴方向进行了压缩和旋转，所以原本在y轴方向上的垂直关系可能会发生变化。因此，B选项是错误的。
C选项：平行性是由线段的方向决定的，而在斜二测画法中，虽然y轴方向有所改变，但线段的平行性（或说方向的一致性）是保持不变的。所以C选项是正确的。
D选项：如果两条或多条线段在原图中有一个共同的点，那么在直观图中它们仍然会有这个共同的点。这是因为共点性是由线段的端点和位置决定的，而这些在转换过程中不会改变。所以D选项是正确的。
综上所述，对其中的线段说法错误的是B选项。
【答案】：
B

2.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的 (B)

答案： 【解析】：
本题可根据斜二测画法的规则来判断平面图形的形状。
斜二测画法的规则为：
在已知图形中取互相垂直的$x$轴和$y$轴，两轴相交于点$O$，画直观图时，把它们画成对应的$x'$轴与$y'$轴，两轴相交于点$O'$，且使$\angle x'O'y' = 45^{\circ}$（或$135^{\circ}$），已知图形中平行于$x$轴或$y$轴的线段，在直观图中分别画成平行于$x'$轴或$y'$轴的线段，已知图形中平行于$x$轴的线段，在直观图中长度保持不变；平行于$y$轴的线段，长度变为原来的一半。
观察所给直观图，在$x'$轴和$y'$轴上有两条线段，且$\angle x'O'y' = 45^{\circ}$，由于平行于$y'$轴的线段长度在直观图中变为原来的一半，那么在原平面图形中，平行于$y$轴的线段长度是直观图中对应线段长度的$2$倍，平行于$x$轴的线段长度不变。
逐一分析选项：
选项A：原图形中上下两条边不平行于$y$轴，在直观图中不会出现与$y'$轴平行的线段，所以A选项不符合。
选项B：原图形中上下两条边平行于$y$轴，在直观图中上下两条边会平行于$y'$轴，且长度变为原来的一半，符合斜二测画法的规则，所以B选项符合。
选项C：原图形中上下两条边不平行于$y$轴，在直观图中不会出现与$y'$轴平行的线段，所以C选项不符合。
选项D：原图形中只有一条边平行于$y$轴，在直观图中应该只有一条边平行于$y'$轴，而所给直观图中有两条边平行于$y'$轴，所以D选项不符合。
【答案】：B

3.用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,且∠A= 90°,则在直观图中∠A'= (C)
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.90°

答案： 【解析】：
本题考查的知识点是斜二测画法以及直观图中角度的变化。
斜二测画法是一种用于绘制立体图形的直观图的方法，其中，与$x$轴平行的线段在直观图中长度和方向都不变，与$y$轴平行的线段在直观图中长度减半，且成为与$x$轴成$45^\circ$或$135^\circ$的线段（取决于$y$轴的正负方向）。
由于题目中给出$\angle A$的两边分别平行于$x$轴、$y$轴，且$\angle A = 90^\circ$，在斜二测画法中，与$x$轴平行的边在直观图中方向不变，与$y$轴平行的边在直观图中会变为与$x$轴成$45^\circ$或$135^\circ$的线段。
因此，原来的直角$\angle A$在直观图中会变为$45^\circ$或$135^\circ$（取决于$y$轴方向上的线段在直观图中是与$x$轴成$45^\circ$还是$135^\circ$）。
【答案】：
C. $45^\circ$或$135^\circ$。

4.如图所示是水平放置的三角形的直观图,A'B'//y'轴,则原图中△ABC是 (B)

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形

答案： 【解析】：
本题可根据斜二测画法的规则来判断原图中$\triangle ABC$的形状。
在斜二测画法中，平行于$x$轴的线段长度不变，平行于$y$轴的线段长度减半，且$x'O'y' = 45^{\circ}$（或$135^{\circ}$）。
已知直观图中$A'B'// y'$轴，根据斜二测画法的规则，在原图形中与$y'$轴平行的线段在原图形中与$y$轴平行，且长度是直观图中对应线段长度的$2$倍。
所以在原图中$AB$与$y$轴平行，那么$AB\perp AC$，即$\angle BAC = 90^{\circ}$。
有一个角为$90^{\circ}$的三角形是直角三角形，所以原图中$\triangle ABC$是直角三角形。
【答案】：B。

5.如图用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,则原图的形状是(C)

答案： 解：设直观图中正方形边长为1。在直观图中，正方形的一边平行于$x'$轴，长度为1，另一边平行于$y'$轴，长度为1。
根据斜二测画法规则：
原图中平行于$x$轴的线段长度不变，故对应边长为1。
原图中平行于$y$轴的线段长度是直观图中对应线段长度的2倍，且与$y$轴夹角为$90^\circ$（直观图中与$y'$轴夹角$45^\circ$）。直观图中平行于$y'$轴的边长为1，其在$y'$轴方向的实际长度（投影）为$1×\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故原图中对应边长为$2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
分析选项：
选项A：$y$轴方向长度为$2\sqrt{2}$，不符合。
选项B：$y$轴方向长度为2，不符合。
选项C：$y$轴方向长度为$\sqrt{2}$，符合；且图形关于$x$轴对称，平行于$x$轴边长为1，符合原图特征。
选项D：$y$轴方向长度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，不符合。
答案：C

6.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上,则圆柱的高应画成 (A)
A.平行于z'轴且大小为10 cm
B.平行于z'轴且大小为5 cm
C.与z'轴成45°且大小为10 cm
D.与z'轴成45°且大小为5 cm

答案： 【解析】：
本题考查的是立体图形的直观图，特别是圆柱在三维空间中的表示。
首先，理解题目中的“圆柱的底面画在$x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime} $平面上”这一条件。这意味着圆柱的底面是一个与$x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime} $平面平行的圆。
接下来，考虑圆柱的高。在三维空间中，圆柱的高是垂直于底面的。由于底面在$x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime} $平面上，因此圆柱的高应该是平行于$z^{\prime} $轴的。
最后，根据题目中给出的圆柱的高为10cm，可以确定在直观图中，圆柱的高也应画成10cm。
综合以上分析，得出答案：圆柱的高应画成平行于$z^{\prime} $轴且大小为10cm。
【答案】：
A

7.(多选题)关于斜二测画法所得直观图的说法不正确的是 (ABC)
A.直角三角形的直观图仍是直角三角形
B.梯形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是菱形
D.平行四边形的直观图仍是平行四边形

答案： 【解析】：
本题主要考查斜二测画法的基本性质，即斜二测画法是如何影响图形形状的。
对于选项A，直角三角形的直角在斜二测画法下可能不再是直角，因为斜二测画法会改变图形的角度和长度比例，所以直角三角形的直观图不一定是直角三角形，故A错误。
对于选项B，梯形的上下底边在斜二测画法下仍然保持平行，但腰可能不再平行，因此梯形的直观图仍然是梯形，而不是平行四边形，故B错误。
对于选项C，正方形的对角线在斜二测画法下可能不再垂直，且各边长度比例也可能发生变化，因此正方形的直观图不一定是菱形，实际上，它通常是一个平行四边形，但不是菱形，故C错误。
对于选项D，平行四边形的对边在斜二测画法下仍然保持平行，因此平行四边形的直观图仍然是平行四边形，这个选项是正确的，但由于题目要求选择不正确的说法，所以D虽然本身描述正确，但不是本题的答案。
根据以上分析，我们可以确定选项A、B、C都是不正确的说法。
【答案】：
ABC

8.(多选题)下列说法错误的是 (ABC)
A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等
B.相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
C.最长的线段在直观图中对应的线段仍最长
D.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点

答案： 【解析】：
本题考查的知识点是立体图形的直观图及其性质。
对于选项A，相等的角在直观图中对应的角不一定相等。因为直观图是通过平行投影得到的，而平行投影会改变角度的大小，特别是当投影方向与角的平面不垂直时。所以A选项是错误的。
对于选项B，相等的线段在直观图中对应的线段也不一定相等。同样，由于平行投影的性质，线段在投影过程中可能会发生变化，导致投影后的线段长度与原线段长度不相等。所以B选项是错误的。
对于选项C，最长的线段在直观图中对应的线段不一定仍然是最长的。因为投影可能会改变线段的长度，所以原图中最长的线段在投影后可能不再是最长的。所以C选项是错误的。
对于选项D，线段的中点在直观图中仍然是线段的中点。这是因为平行投影保持线段的中点性质不变，即如果M是线段AB的中点，那么M在直观图中的投影仍然是投影线段的中点。所以D选项是正确的。
根据以上分析，错误的选项是A、B、C。
【答案】：
ABC

9.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A'C'= 3,B'C'= 2,则AB边上的中线的实际长度为$\frac{5}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查平面图形的直观图，斜二测画法。
由于平面图形的直观图采用的是斜二测画法，
在已知$y'O'x'$两边分别平行坐标轴的情况下，
可得在原平面图形中$∠AOC=90^{\circ}$，$AC=A'C'=3$，$BC=2B'C'=4$，
因此$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2} } =\sqrt{3^{2}+4^{2} } =5$，
所以$AB$边上的中线的实际长度就是$AB$长度的一半，即$\frac{5}{2} × 2= \frac{5}{2}$。
【答案】：
$\frac{5}{2}$

10.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰为√2,上底边为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是______4√2。

答案： 【解析】：
本题考查斜二测画法及梯形的面积计算。
首先，由题意知直观图是一个底角为$45^\circ$，腰长为$\sqrt{2}$，上底边为1的等腰梯形。
根据等腰梯形的性质和斜二测画法，可以求出下底边长为$1 + \sqrt{2} × \sqrt{2} = 3$，高可以通过底角和腰长计算得出，即高$h = \sqrt{2} × \sin 45^\circ = 1$。
然后，根据梯形面积公式$S = \frac{1}{2} × (\text{上底} + \text{下底}) × \text{高}$，可以计算出直观图的面积为
$S_{\text{直观图}} = \frac{1}{2} × (1 + 3) × 1 = 2$，
最后，根据斜二测画法中面积的比例关系，即原图形面积与直观图面积的比例为$2\sqrt{2}:1$，可以求出原图形的面积为
$S_{\text{原图}} = 2 × 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$。
【答案】：
$4\sqrt{2}$。

11.如图,平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图,若O'P'= 3,O'R'= 1,则原四边形OPQR的周长为______10.

答案： 解：在直观图中，O'P'=3，O'R'=1。
由斜二测画法规则，原四边形OPQR中，OP=O'P'=3，OR=2O'R'=2×1=2。
因为直观图为平行四边形，所以原四边形OPQR为矩形（或平行四边形，邻边分别为OP、OR）。
原四边形周长为2×(OP+OR)=2×(3+2)=10。
答案：10

12.在如图直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标系中原四边形OABC为矩形(填形状),面积为8cm².

答案： 【解析】：
本题主要考查平面图形的直观图，可利用斜二测画法规则去还原出原平面图形，即可求出答案。
在已知水平放置的平面图形中，平行于$x$轴的线段长度不变，平行于$y$轴的线段长度变为原来的一半。
由四边形$O^{\prime}A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$为菱形且边长为$2cm$，可得$O^{\prime}A^{\prime}=A^{\prime}B^{\prime}=B^{\prime}C^{\prime}=C^{\prime}O^{\prime}=2cm$，
由斜二测画法规则可知，在原平面直角坐标系$xOy$中，
$OA=O^{\prime}A^{\prime}=2cm$，且平行于$x$轴，
$AB=2A^{\prime}B^{\prime}=4cm$，且平行于$y$轴，
所以四边形$OABC$为矩形，
$S_{OABC}=OA× AB=2×4=8cm^2$。
【答案】：
矩形；$8$。