《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

14. 设 $a,b$ 为共轭复数,且 $ (a + b)^2 - 3abi = 4 - 6i $,求 $a$ 和 $b$.

答案： 【解析】：
本题考查了复数的代数形式及其乘法运算，以及复数相等的条件，即两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
设 $a = x + yi$，$b = x - yi$，其中 $x, y \in \mathbb{R}$。
根据复数的加法运算，有 $a + b = 2x$。
根据复数的乘法运算，有 $ab = (x + yi)(x - yi) = x^2 + y^2$。
将 $a + b$ 和 $ab$ 代入原方程 $(a + b)^2 - 3abi = 4 - 6i$，得到：
$(2x)^2 - 3(x^2 + y^2)i = 4 - 6i$，
化简得：
$4x^2 - 3(x^2 + y^2)i = 4 - 6i$，
根据复数相等的条件，实部和虚部分别相等，即：
$\begin{cases}4x^2 = 4, \\-3(x^2 + y^2) = -6\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}x^2 = 1, \\x^2 + y^2 = 2\end{cases}$
解得 $x = \pm 1$，$y = \pm 1$。
因此，有四种可能的 $a$ 和 $b$ 的组合：
当 $x = 1, y = 1$ 时，$a = 1 + i, b = 1 - i$；
当 $x = 1, y = -1$ 时，$a = 1 - i, b = 1 + i$；
当 $x = -1, y = 1$ 时，$a = -1 + i, b = -1 - i$；
当 $x = -1, y = -1$ 时，$a = -1 - i, b = -1 + i$。
【答案】：
$\begin{cases}a = 1 + i, \\b = 1 - i\end{cases}$或
$\begin{cases}a = 1 - i, \\b = 1 + i\end{cases}$或
$\begin{cases}a = -1 + i, \\b = -1 - i\end{cases}$或
$\begin{cases}a = -1 - i, \\b = -1 + i\end{cases}$。

15. 复数 $ z = \frac{(1 + i)^3(a + bi)}{1 - i} $ 且 $ |z| = 4 $,$z$ 对应的点在第一象限,若复数 $0,z,\overline{z}$ 对应的点是正三角形的三个顶点,求实数 $a,b$ 的值.

答案： 解：先化简复数 $ z $。
$ (1 + i)^3 = (1 + i)^2(1 + i) = (2i)(1 + i) = -2 + 2i $
$ z = \frac{(-2 + 2i)(a + bi)}{1 - i} = \frac{(-2a - 2b) + (2a - 2b)i}{1 - i} $
分子分母同乘 $ 1 + i $：
$ z = \frac{[(-2a - 2b) + (2a - 2b)i](1 + i)}{2} = \frac{(-4a) + (4b)i}{2} = -2a + 2bi $
由 $ |z| = 4 $，得 $ \sqrt{(-2a)^2 + (2b)^2} = 4 $，即 $ a^2 + b^2 = 4 $ ①
复数 $ 0, z, \overline{z} $ 对应点为 $ (0,0), (-2a, 2b), (-2a, -2b) $。
因为是正三角形，所以 $ |z - 0| = |\overline{z} - z| $。
$ |z| = 4 $，$ |\overline{z} - z| = |-4b i| = 4|b| $，故 $ 4 = 4|b| $，得 $ |b| = 1 $。
又 $ z $ 在第一象限，所以 $ -2a ＞ 0 $，$ 2b ＞ 0 $，即 $ a ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $，所以 $ b = 1 $。
代入①：$ a^2 + 1 = 4 $，$ a^2 = 3 $，$ a = -\sqrt{3} $（$ a ＜ 0 $）。
综上，$ a = -\sqrt{3} $，$ b = 1 $。
答案：$ a = -\sqrt{3} $，$ b = 1 $