《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

14. 在复平面内,$O$是原点,向量$\overrightarrow{OA}对应的复数为2+i$.
(1)如果点$A关于实轴的对称点为点B$,求向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数.
(2)如果(1)中的点$B关于虚轴的对称点为点C$,求点$C$对应的复数.

答案： 【解析】：
本题主要考查复数的几何意义以及复数在复平面内的对称性质。
(1)对于点$A$关于实轴的对称点$B$，由于实轴是复平面的水平轴，因此点$A$和点$B$的实部相同，而虚部互为相反数。
(2)对于点$B$关于虚轴的对称点$C$，由于虚轴是复平面的垂直轴，因此点$B$和点$C$的虚部相同，而实部互为相反数。
【答案】：
(1)由于点$A$关于实轴的对称点为$B$，且向量$\overrightarrow{OA}$对应的复数为$2+i$，根据复数的几何意义，点$A$的坐标为$(2,1)$。因此，点$B$的坐标为$(2,-1)$，所以向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为$2-i$。
(2)由于点$B$关于虚轴的对称点为$C$，且已知点$B$的坐标为$(2,-1)$，根据对称性质，点$C$的坐标为$(-2,-1)$，所以点$C$对应的复数为$-2-i$。

15. 若关于$x的方程3x^{2}-\frac{a}{2}x-1= (10-x-2x^{2})i$有实根,求实数$a$的值.

答案： 【解析】：
首先，我们将原方程$3x^{2}-\frac{a}{2}x-1= (10-x-2x^{2})i$的实部和虚部分别设为0，
即实部：$3x^{2}-\frac{a}{2}x-1=0$，
虚部：$10-x-2x^{2}=0$。
这样，我们得到了一个关于$x$的二次方程组。
解虚部方程$10-x-2x^{2}=0$，
移项得$2x^{2}+x-10=0$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
其中$a=2,b=1,c=-10$，
代入公式得到$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+80}}{4}=\frac{-1\pm9}{4}$，
解得$x=2$或$x=-\frac{5}{2}$。
然后，将$x=2$和$x=-\frac{5}{2}$分别代入实部方程$3x^{2}-\frac{a}{2}x-1=0$中求解$a$。
当$x=2$时，代入得$12-a-1=0$，
解得$a=11$；
当$x=-\frac{5}{2}$时，代入得$\frac{75}{4}+\frac{5a}{4}-1=0$，
移项并化简得$\frac{5a}{4}=-\frac{71}{4}$，
解得$a=-\frac{71}{5}=- \frac{71}{5}$。
所以，$a$的取值为11或$-\frac{71}{5}$。
【答案】：
$a=11$或$a=-\frac{71}{5}$。