《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

1.12本外形相同的书中,有10本语文书,2本数学书,从中任意抽取3本,是必然事件的是(D)
A.3本都是语文书
B.至少有一本是数学书
C.3本都是数学书
D.至少有一本是语文书

答案： 【解析】：
本题主要考察随机事件与概率中的必然事件概念。
必然事件指的是在一定条件下，一定会发生的事件。
分析选项A：3本都是语文书。由于有2本数学书，所以抽取3本时，不一定都是语文书，因此A不是必然事件。
分析选项B：至少有一本是数学书。由于有10本语文书，所以抽取3本时，有可能都是语文书，因此B不是必然事件。
分析选项C：3本都是数学书。由于只有2本数学书，所以不可能抽取3本都是数学书，因此C不是必然事件。
分析选项D：至少有一本是语文书。考虑其反面情况，即3本都不是语文书（都是数学书），但由于只有2本数学书，所以不可能抽取3本都是数学书。
因此，D描述的事件是必然事件。
【答案】：
D

2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则(C)
A.A⊆B
B.A= B
C.A∪B表示向上的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的点数是1或2或3

答案： 【解析】：
本题主要考查对随机事件以及集合运算的理解。
首先，明确事件A和事件B的定义：
事件A：向上的点数是$1$或$2$，可以表示为 $A = \{1, 2\}$。
事件B：向上的点数是$2$或$3$，可以表示为 $B = \{2, 3\}$。
接下来，分析选项：
A. $A \subseteq B$：这意味着事件A是事件B的子集。但根据定义，集合A中有一个元素$1$不在集合B中，所以A选项错误。
B. $A = B$：这意味着事件A和事件B完全相同。但根据定义，集合A和集合B的元素不完全相同（集合A有元素$1$，而集合B没有；集合B有元素$3$，而集合A没有），所以B选项错误。
C. $A \cup B$：这表示事件A或事件B发生。根据集合的并集运算，$A \cup B = \{1, 2, 3\}$，即向上的点数是$1$或$2$或$3$。所以C选项正确。
D. $A \cap B$：这表示事件A和事件B同时发生。根据集合的交集运算，$A \cap B = \{2\}$，即向上的点数是$2$，与选项D中的描述不符，所以D选项错误。
综上所述，正确答案是C。
【答案】：
C。

3.下列试验中,是古典概型的有(C)
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C.四位同学用抽签法选一人参加会议
D.运动员投篮,观察是否投中

答案： 【解析】：
古典概型的特点：
试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
试验中每个基本事件出现的可能性相等。
A. 某人射击中靶或不中靶：这里虽然只有两种可能的结果，但中靶与不中靶的概率一般不相等，因此不满足古典概型的第二个条件。
B. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个：平面直角坐标系内的整点有无限多个，因此不满足古典概型的第一个条件。
C. 四位同学用抽签法选一人参加会议：这里有4个基本事件（即4位同学中的每一位被选中），且每个基本事件（每位同学被选中）的概率相等，满足古典概型的两个条件。
D. 运动员投篮，观察是否投中：这里虽然只有两种可能的结果（投中或未投中），但投中和未投中的概率一般不相等，因此不满足古典概型的第二个条件。
所以，只有选项C满足古典概型的定义。
【答案】：
C

4.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是(C)
A.$\frac {1}{6}$
B.$\frac {1}{2}$
C.$\frac {1}{3}$
D.$\frac {2}{3}$

答案： 【解析】：
本题主要考察的是概率的基本计算和排列组合的知识点。在这个问题中，需要找出甲站在中间的所有可能情况，然后除以所有可能的排列情况，从而得出甲站在中间的概率。
首先，考虑三名同学站成一排的所有可能排列。由于有三名同学，所以总的排列方式为$A_{3}^{3}=3!=3 × 2 × 1=6$种。
然后，考虑甲站在中间的情况。当甲站在中间时，乙和丙可以在甲的两侧任意排列，即有$A_{2}^{2}=2!=2 × 1=2$种情况。但由于我们只关心甲是否站在中间，所以实际上只需要考虑甲站在中间这一种情况，而乙和丙的排列方式不影响甲的位置。
因此，甲站在中间的概率$P$可以计算为甲站在中间的情况数除以所有可能的排列情况数，即$P=\frac{甲站在中间的情况数}{所有可能的排列情况数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。但这里需要注意的是，由于乙和丙的排列在甲站在中间的情况下是任意的，且我们只关心甲的位置，所以实际上甲站在中间的概率就是$\frac{1}{3}$，而不需要考虑乙和丙的具体排列。
【答案】：
C. $\frac{1}{3}$。

5.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为(B)
A.至多有2件次品
B.至多有1件次品
C.至多有2件正品
D.至少有2件正品

答案： 【解析】：
本题考查的是随机事件的对立事件的概念。
对立事件是指两个事件中，如果一个事件发生，则另一个事件一定不发生，反之亦然。
题目中给出的事件A是“至少有2件次品”，我们要找的是这个事件的对立事件。
“至少有2件次品”意味着在抽查的10件产品中，次品数量可以是2件、3件、...、10件。
其对立事件应该是这些情况的补集，即次品数量小于2件的情况，也就是0件或1件次品。
因此，事件A的对立事件可以表述为“至多有1件次品”。
【答案】：
B

6.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是(C)
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

答案： 【解析】：
本题考查了互斥事件与对立事件的概念。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，但对立事件除了不能同时发生外，还要求两个事件中必有一个会发生。
对于选项A：“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生（例如取出的两个球都是黑球），所以它们不是互斥事件。
对于选项B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可以同时发生（例如取出一个黑球和一个红球），所以它们不是互斥事件。
对于选项C：“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，因为取出的球数固定为两个，且颜色组合不同。同时，它们之外还有“都是红球”这一可能性，所以它们是互斥而不对立的。
对于选项D：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，且它们的并集是全集（即所有可能的取球方式），所以它们是对立事件。
根据以上分析，只有选项C满足“互斥而不对立”的条件。
【答案】：
C

7.(多选题)下列事件是随机事件的是(ACD)
A.东边日出西边雨
B.下雪不冷化雪冷
C.清明时节雨纷纷
D.梅子黄时日日晴

答案： 【解析】：
本题考查的是随机事件的概念。随机事件是指在一定条件下，并不总是发生，也不总是不发生的事件。
A选项，“东边日出西边雨”描述的是一种天气现象，这种情况在某些条件下可能发生，也可能不发生，因此是随机事件。
B选项，“下雪不冷化雪冷”描述的是一种物理现象，下雪时由于雪花下降过程中与空气摩擦产生热量，且水汽凝结成雪会释放热量，所以不觉得冷；而化雪时，雪融化吸收热量，所以感觉冷。这是一个物理规律，不是随机事件。
C选项，“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节的天气特点，这个时节多雨，但并不是每年都会在这个时节下雨，因此是随机事件。
D选项，“梅子黄时日日晴”描述的是梅子成熟时的天气情况，虽然通常是晴朗的，但也不是绝对，因此也可以看作是随机事件。
综上，A、C、D选项描述的都是随机事件。
【答案】：
ACD

8.(多选题)下列试验是古典概型的为(ABD)
A.从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛,某人被选中的可能性大小
B.同时掷两颗骰子,点数和为6
C.近三天中有一天降雨
D.10人站成一排,其中甲、乙相邻

答案： 【解析】：
古典概型的特点：1. 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2. 每个基本事件出现的可能性相等。
A. 从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛：
所有可能的选择方式是有限的，即$C_6^4$种选择方式；
每个同学被选中的概率是相等的，因为选择是随机的。
所以A是古典概型。
B. 同时掷两颗骰子，点数和为6：
所有可能的点数组合是有限的，即$6 × 6 = 36$种组合；
每一种组合出现的概率是相等的，因为骰子是均匀的。
虽然我们关心的是点数和为6的情况，但这仍然是一个古典概型问题，因为我们可以列举出所有和为6的组合，并计算其概率。
所以B是古典概型。
C. 近三天中有一天降雨：
这里涉及到的是时间的变化，且降雨的概率可能随时间、天气等因素而变化，不满足“每个基本事件出现的可能性相等”的条件。
所以C不是古典概型。
D. 10人站成一排，其中甲、乙相邻：
所有可能的排列方式是有限的，即$A_{10}^{10}$种排列；
甲、乙相邻的情况也可以列举出来，并且每一种排列出现的概率是相等的。
所以D是古典概型。
【答案】：
ABD。

9.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件:①“在这200件产品中任意选9件,全部是一级品”;
②“在这200件产品中任意选9件,全部都是二级品”;
③“在这200件产品中任意选9件,不全是一级品”.
其中①③是随机事件;②是不可能事件.(填事件的编号)

答案： 【解析】：
本题主要考察随机事件与不可能事件的判断。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。
对于事件①：“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”。
由于有192件一级品，所以选9件全部是一级品是有可能的，因此它是随机事件。
对于事件②：“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”。
由于只有8件二级品，所以不可能选出9件二级品，因此它是不可能事件。
对于事件③：“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”。
由于存在二级品，所以选9件产品中有可能包含二级品，因此它是随机事件。
【答案】：
随机事件：①③；
不可能事件：②。

10.从a,b,c,d中任取两个字母,则该试验的样本点数为6.

答案： 【解析】：
本题主要考查组合数学中的基本计数原理，特别是从n个不同元素中任取m个元素的组合数计算。在本题中，我们有4个不同的字母（a, b, c, d），需要从中任取2个字母。根据组合的计算公式C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]，我们可以计算出样本点数。其中n是总的元素数量，m是要选取的元素数量。
在本题中，n=4（a, b, c, d四个字母），m=2（任取两个字母）。所以样本点数就是C(4,2)。
【答案】：
样本点数为$C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$。

11.甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率是$\frac {1}{4}$,乙队胜的概率是$\frac {1}{3}$,则甲队胜的概率是$\frac{5}{12}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是随机事件的概率和概率的加法原理。
首先，定义三个事件：
事件$A$：甲队胜；
事件$B$：乙队胜；
事件$C$：两队战平。
根据题目，已知：
$P(C) = \frac{1}{4}$
$P(B) = \frac{1}{3}$
由于这三个事件（甲队胜、乙队胜、两队战平）是互斥且完备的，即它们之间没有交集，并且它们的并集是全集，所以根据概率的加法原理，有：
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
将已知的$P(B)$和$P(C)$代入上式，可以解出$P(A)$：
$P(A) = 1 - P(B) - P(C) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$
【答案】：
$\frac{5}{12}$

12.如图所示,a,b,c,d,e是处于断开状态的开关,任意闭合其中的两个,则电路接通的概率是$\frac{3}{5}$.

答案： 【解析】：
首先，分析题目可知这是一个关于概率计算的问题，需要用到组合数学的知识。
任意闭合两个开关的总组合数为 $C_{5}^{2}$，即从5个开关中选择2个的组合方式，根据组合数公式可得：
$C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5×4}{2×1}=10$。
接下来，列举所有可能使得电路接通的组合。
观察电路图可知，当闭合$a$和$e$，或者$b$和$e$，或者$c$和$e$，或者$d$和$a$，或者$d$和$b$，或者$d$和$c$时，电路会接通。
这样的组合共有6种。
所以，电路接通的概率为使得电路接通的组合数除以总组合数，即：
$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】：
$\frac{3}{5}$。