《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

11. 如图,在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中判断下列位置关系：

(1)$AD_{1}所在的直线与平面B_{1}BCC_{1}$的位置关系是平行。
(2)平面$A_{1}BC_{1}$与平面ABCD的位置关系是相交。

答案：
(1) 平行
(2) 相交

12. 已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是1或4。

答案： 【解析】：
本题主要考查空间几何中四点确定平面的个数问题。
首先，我们需要明确三个不共线的点可以确定一个平面。
现在题目给出四个点，且任何三点都不共线。
1. 当四点在同一个平面上时，它们只能确定这一个平面。
2. 当四点不在同一个平面上时，由于任何三点都不共线，我们可以选择任意三点来确定一个平面。
这样，从四个点中选三个点的组合方式有 $C_{4}^{3}$ 种。
计算得 $C_{4}^{3} = \frac{4!}{3! × (4-3)!} = 4$。
因此，当四点不在同一个平面上时，它们可以确定4个不同的平面。
综合以上两种情况，四点可以确定平面的个数是1或4。
【答案】：
1或4

13. 用符号表示下列语句,并画出图形。
(1)平面$\alpha与\beta$相交于直线l,直线a与$\alpha$,$\beta$分别相交于点A,B。
(2)点A,B在平面$\alpha$内,直线a与平面$\alpha$交于点C,点C不在直线AB上。

答案： 【解析】：
本题主要考查空间中点、直线、平面之间的位置关系以及符号表示。
对于（1），需要理解平面与直线的交集以及直线与平面的交点等概念，然后使用数学符号进行表示，并根据描述画出相应的图形。
对于（2），需要理解点与平面的关系、直线与平面的交点以及点与直线的位置关系，然后使用数学符号进行表示，并根据描述画出相应的图形。
【答案】：
(1)
符号表示：$\alpha \cap \beta = l$，$a \cap \alpha = A$，$a \cap \beta = B$。
图形表示：画两个相交的平面$\alpha$和$\beta$，交线为$l$。再画一条直线$a$，使其与平面$\alpha$交于点$A$，与平面$\beta$交于点$B$。
图略。
(2)
符号表示：$A \in \alpha$，$B \in \alpha$，$a \cap \alpha = C$，$C \notin AB$。
图形表示：画一个平面$\alpha$，在平面内画两个点$A$和$B$。再画一条直线$a$，使其与平面$\alpha$交于点$C$，且点$C$不在直线$AB$上。
图略。

14. 证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内。

答案： 【解析】：
本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，特别是平面的确定条件。
根据平面的基本性质，即不共线的三点确定一个平面，我们可以按照以下步骤进行证明：
第一步，设三条两两相交且不过同一点的直线分别为$l_1$, $l_2$, $l_3$，设它们的交点分别为$A$, $B$, $C$，其中$A$是$l_1$和$l_2$的交点，$B$是$l_2$和$l_3$的交点，$C$是$l_1$和$l_3$的交点。
第二步，根据平面的基本性质，即不共线的三点确定一个平面，我们知道点$A$, $B$, $C$不共线（因为三条直线不过同一点），所以它们确定了一个平面$\alpha$。
第三步，由于直线$l_1$至少包含平面$\alpha$中的两点$A$和$C$，根据两点确定一条直线且这条直线在确定的平面内，我们可以得出$l_1$在平面$\alpha$内。
第四步，同理，直线$l_2$包含平面$\alpha$中的点$A$和$B$，所以$l_2$也在平面$\alpha$内。
第五步，直线$l_3$包含平面$\alpha$中的点$B$和$C$，所以$l_3$也在平面$\alpha$内。
综上，我们证明了$l_1$, $l_2$, $l_3$三条直线都在平面$\alpha$内。
【答案】：
证明：设三条两两相交且不过同一点的直线分别为$l_1$, $l_2$, $l_3$，设它们的交点分别为$A$, $B$, $C$。
第一步，根据平面的基本性质，点$A$, $B$, $C$确定了一个平面$\alpha$。
第二步，由于$l_1$至少包含平面$\alpha$中的两点$A$和$C$，所以$l_1$在平面$\alpha$内。
第三步，同理，$l_2$在平面$\alpha$内。
第四步，$l_3$在平面$\alpha$内。
所以，我们证明了$l_1$, $l_2$, $l_3$三条直线都在平面$\alpha$内。

15. 如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且直线EH与直线FG交于点O。
求证：B,D,O三点共线。

答案： 【解析】：
本题主要考查空间点、直线、平面之间的位置关系，以及如何利用平面的基本性质证明三点共线。
解题的关键在于理解平面的基本性质，即如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
分析题目已知条件：
E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点。
直线EH与直线FG相交于点O。
根据已知条件进行推理：
由于点E，H分别在AB，DA上，根据平面的基本性质，点E，H在平面ABD上，因此直线EH也在平面ABD上。
同理，由于点F，G分别在BC，CD上，点F，G在平面BCD上，因此直线FG也在平面BCD上。
由于直线EH与直线FG相交于点O，这意味着点O既在平面ABD上，又在平面BCD上。
根据平面的基本性质，两个平面（ABD和BCD）的交线是一条唯一的直线，这条直线同时包含点B和点D（因为B，D分别是两个平面的公共点）。
由于点O同时位于平面ABD和平面BCD上，因此点O必然位于这两个平面的交线上，即点O在直线BD上。
因此，证明了B，D，O三点共线。
【答案】：
证明：
因为$EH\subset \text{平面} ABD$，$FG\subset \text{平面} BCD$，
所以点$O\in \text{平面} ABD$，点$O \in \text{平面} BCD$，
因为$\text{平面} ABD \cap \text{平面} BCD=BD$，
所以$O \in BD$，
因此B，D，O三点共线。