《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

13. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为$30^{\circ}$,求正四棱锥的侧面积和表面积.

答案： 解：设正四棱锥的顶点为$S$，底面中心为$O$，底面正方形$ABCD$的边长$AB = 4$，取$BC$中点$E$，连接$OE$，$SE$，则$SE$为斜高，$SO$为高，$\angle OSE = 30^{\circ}$。
在底面正方形中，$OE=\frac{AB}{2}=2$。
在$Rt\triangle SOE$中，$\cos\angle OSE=\frac{OE}{SE}$，即$\cos30^{\circ}=\frac{2}{SE}$，$SE=\frac{2}{\cos30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
侧面积$S_{侧}=4×\frac{1}{2}× AB× SE=4×\frac{1}{2}×4×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{32\sqrt{3}}{3}$。
底面积$S_{底}=AB^{2}=4^{2}=16$。
表面积$S_{表}=S_{侧}+S_{底}=\frac{32\sqrt{3}}{3}+16$。
答：正四棱锥的侧面积为$\frac{32\sqrt{3}}{3}$，表面积为$\frac{32\sqrt{3}}{3}+16$。

14. 如图,在棱长为a的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,求点A到平面$A_{1}BD$的距离d.

答案： 【解析】：
本题考查点到平面的距离计算，可以利用等体积法来求解。
点$A$到平面$A_1BD$的距离可以通过等体积法来计算，即$V_{A - A_1BD}=V_{A_1 - ABD}$。
先计算$\triangle A_1BD$的面积。
正方体棱长为$a$，$A_1B = BD=A_1D=\sqrt{a^2 + a^2}=\sqrt{2}a$，所以$\triangle A_1BD$是等边三角形。
根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2$（$m$为边长），可得$S_{\triangle A_1BD}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{2}a)^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
再计算$\triangle ABD$的面积，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× a× a=\frac{1}{2}a^2$。
设点$A$到平面$A_1BD$的距离为$d$，由$V_{A - A_1BD}=V_{A_1 - ABD}$，根据三棱锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为底面积，$h$为高），可得$\frac{1}{3}S_{\triangle A_1BD}\cdot d=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot a_1A$。
将$S_{\triangle A_1BD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}a^2$，$A_1A = a$代入上式，即$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\cdot d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}a^2\cdot a$。
求解$d$，化简方程$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\cdot d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}a^2\cdot a$，两边同时约去$\frac{1}{3}a^2$，得到$\frac{\sqrt{3}}{2}d=\frac{1}{2}a$，解得$d=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。
【答案】：
点$A$到平面$A_1BD$的距离$d = \frac{\sqrt{3}}{3}a$。

15. 一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在其内部有一个高为xcm的内接圆柱.
(1)求圆锥的侧面积.
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出侧面积的最大值.

答案： 【解析】：
本题主要考查圆锥的侧面积以及圆柱侧面积的最大值问题。
对于第一问，需要利用圆锥侧面积的公式进行计算。
对于第二问，需要通过相似三角形建立圆柱高与底面半径的关系，进而表示出圆柱的侧面积，再利用二次函数的性质求出最大值。
(1)根据圆锥侧面积公式$S = \pi rl$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长），
先求出母线长$l$，再代入公式计算侧面积。
(2)通过相似三角形建立圆柱高$x$与底面半径$r$的关系，
得到圆柱侧面积关于$x$的表达式，最后根据二次函数的性质求出最大值。
【答案】：
(1)已知圆锥底面半径$r = 2cm$，高$h = 6cm$，
根据勾股定理，母线长$l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2\sqrt{10}cm$，
再根据圆锥侧面积公式$S = \pi rl$，
可得圆锥侧面积$S = \pi × 2 × 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10}\pi cm^{2}$。
(2)设圆柱的底面半径为$R$，
由相似三角形可得$\frac{6 - x}{6} = \frac{R}{2}$，
解得$R = \frac{6 - x}{3}$，
所以圆柱的侧面积$S_{侧} = 2\pi Rx = 2\pi × \frac{6 - x}{3} × x = \frac{4\pi}{3} × (3x - \frac{1}{2}x^{2}) = -\frac{2\pi}{3}(x - 3)^{2} + 6\pi$，
因为$a = -\frac{2\pi}{3} ＜ 0$，
所以当$x = 3$时，$S_{侧}$有最大值，最大值为$6\pi cm^{2}$。