《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

1. (2023·新高考Ⅰ卷)已知 $ z = \frac{1 - i}{2 + 2i} $,则 $ z - \overline{z} $= (A)
A.$-i$
B.$i$
C.$0$
D.$1$

答案： 解：$z=\frac{1 - i}{2 + 2i}=\frac{(1 - i)(2 - 2i)}{(2 + 2i)(2 - 2i)}=\frac{2 - 2i - 2i + 2i^2}{4 - (2i)^2}=\frac{2 - 4i - 2}{4 + 4}=\frac{-4i}{8}=-\frac{1}{2}i$
$\overline{z}=\frac{1}{2}i$
$z - \overline{z}=-\frac{1}{2}i - \frac{1}{2}i=-i$
答案：A

2. 如图,在复平面内,复数 $ z_1,z_2 $ 对应的向量分别是 $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} $,则 $ |z_1 + z_2| = $ (B)

A.$1$
B.$ \sqrt{5} $
C.$2$
D.$3$

答案： 解：由图可知，向量$\overrightarrow{OA}=(-2,-2)$，向量$\overrightarrow{OB}=(0,1)$，
则复数$z_1=-2-2i$，$z_2=0+i=i$，
$z_1+z_2=(-2-2i)+i=-2-i$，
$|z_1+z_2|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$。
答案：B

3. 已知 $ z = 2 - i $,则 $ z(\overline{z} + i) = $ (C)
A.$6 - 2i$
B.$4 - 2i$
C.$6 + 2i$
D.$4 + 2i$

答案： 【解析】：
这道题目考查的是复数的四则运算，特别是复数的共轭以及复数的乘法。
首先，我们需要知道复数$z$的共轭$\overline{z}$，然后将其与$i$相加，得到$\overline{z} + i$。
最后，我们将$z$与$\overline{z} + i$相乘，得到最终的结果。
题目给出了$z = 2 - i$，所以其共轭$\overline{z} = 2 + i$。
接下来，我们计算$\overline{z} + i = 2 + i + i = 2 + 2i$。
最后，我们将$z$与$\overline{z} + i$相乘，即$(2 - i)(2 + 2i)$。
根据复数乘法的分配律，我们可以将其展开为$2 × 2 + 2 × 2i - i × 2 - i × 2i = 4 + 4i - 2i + 2 = 6 + 2i$。
【答案】：
C. $6 + 2i$。

4. $i$是虚数单位,复数 $ \frac{7 + i}{3 + 4i} = $ (A)
A.$1 - i$
B.$ - 1 + i $
C.$ \frac{17}{25} + \frac{31}{25}i $
D.$ - \frac{17}{7} + \frac{25}{7}i $

答案： 【解析】：
本题主要考察复数的除法运算。为了消除分母中的虚数部分，我们需要与其共轭复数相乘。
复数 $z$ 的共轭复数记作 $\overline{z}$，若 $z = a + bi$，则 $\overline{z} = a - bi$。
根据复数的性质，有 $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$ 是一个实数。
对于给定的复数 $\frac{7 + i}{3 + 4i}$，我们可以将其与其分母的共轭复数相乘，即：
$\frac{7 + i}{3 + 4i} × \frac{3 - 4i}{3 - 4i}$
展开分子和分母，得到：
$= \frac{(7 × 3 + 7 × (-4i) + i × 3 + i × (-4i))}{3^2 + 4^2}$
$= \frac{21 - 28i + 3i - 4i^2}{9 + 16}$
由于 $i^2 = -1$，代入上式得：
$= \frac{21 - 28i + 3i + 4}{25}$
$= \frac{25 - 25i}{25}$
$= 1 - i$
【答案】：
A. $1 - i$

5. 设 $ z = \frac{3 - i}{1 + 2i} $,则 $ |z| = $ (C)
A.$2$
B.$ \sqrt{3} $
C.$ \sqrt{2} $
D.$1$

答案： 【解析】：
本题主要考查复数的模的计算以及复数的除法运算。
首先，我们需要将复数$z$化为标准形式$a + bi$。为了消除分母中的虚部，我们可以通过乘以分母的共轭复数来实现。即：
$z = \frac{3 - i}{1 + 2i} × \frac{1 - 2i}{1 - 2i}$
展开上述乘法，得到：
$z = \frac{(3 - i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}$
$= \frac{3 - 6i - i + 2i^2}{1 - 2i + 2i - 4i^2}$
由于$i^2 = -1$，代入上式得：
$z = \frac{3 - 6i - i - 2}{1 + 4}$
$= \frac{1 - 7i}{5}$
$= \frac{1}{5} - \frac{7}{5}i$
接下来，我们利用复数模的定义来计算$|z|$：
$|z| = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 + (-\frac{7}{5})^2}$
$= \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{49}{25}}$
$= \sqrt{\frac{50}{25}}$
$= \sqrt{2}$
【答案】：
C. $\sqrt{2}$。

6. 已知复数 $ z = \frac{\sqrt{3} + i}{(1 - \sqrt{3}i)^2} $,$ \overline{z} $ 是 $ z $ 的共轭复数,则 $ z \cdot \overline{z} = $ (A)
A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$1$
D.$2$

答案： 解：设复数$z = a + bi$（$a,b\in\mathbf{R}$），则$\overline{z}=a - bi$，$z\cdot\overline{z}=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$。
对于复数$z=\frac{\sqrt{3}+i}{(1 - \sqrt{3}i)^{2}}$，先计算分母$(1 - \sqrt{3}i)^{2}$：
$\begin{aligned}(1 - \sqrt{3}i)^{2}&=1^{2}-2×1×\sqrt{3}i+(\sqrt{3}i)^{2}\\&=1 - 2\sqrt{3}i + 3i^{2}\\&=1 - 2\sqrt{3}i - 3\\&=-2 - 2\sqrt{3}i\end{aligned}$
则$z=\frac{\sqrt{3}+i}{-2 - 2\sqrt{3}i}$，分子分母同乘以分母的共轭复数$-2 + 2\sqrt{3}i$化简：
$\begin{aligned}z&=\frac{(\sqrt{3}+i)(-2 + 2\sqrt{3}i)}{(-2 - 2\sqrt{3}i)(-2 + 2\sqrt{3}i)}\\&=\frac{\sqrt{3}×(-2)+\sqrt{3}×2\sqrt{3}i + i×(-2)+i×2\sqrt{3}i}{(-2)^{2}-(2\sqrt{3}i)^{2}}\\&=\frac{-2\sqrt{3}+6i - 2i + 2\sqrt{3}i^{2}}{4 - 12i^{2}}\\&=\frac{-2\sqrt{3}+4i - 2\sqrt{3}}{4 + 12}\\&=\frac{-4\sqrt{3}+4i}{16}\\&=-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}i\end{aligned}$
所以$|z|^{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\frac{1}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，即$z\cdot\overline{z}=\frac{1}{4}$。
答案：A

7. (多选题) $ z_1,z_2 $ 是复数,且 $ z_1^2 + z_2^2 ＜ 0 $,则下列选项错误的是 ( ACD)
A.$ z_1^2 ＜ - z_2^2 $
B.$ z_1,z_2 $ 中至少有一个是虚数
C.$ z_1,z_2 $ 中至少有一个是实数
D.$ z_1,z_2 $ 都不是实数

答案： 解：
对于选项A：复数不能比较大小，A错误；
对于选项B：假设$z_1,z_2$均为实数，则$z_1^2 + z_2^2 \geq 0$，与题设矛盾，故至少有一个虚数，B正确；
对于选项C：取$z_1=1+i$，$z_2=1-i$，则$z_1^2 + z_2^2 = (2i) + (-2i) = 0$，不满足$z_1^2 + z_2^2 ＜ 0$；取$z_1=2+i$，$z_2=1-i$，$z_1^2 + z_2^2 = (3+4i)+(2-2i)=5+2i$，不满足；取$z_1=i$，$z_2=i$，$z_1^2 + z_2^2 = -2 ＜ 0$，此时均为虚数，故C错误；
对于选项D：取$z_1=0$（实数），$z_2=i$（虚数），$z_1^2 + z_2^2 = -1 ＜ 0$，此时$z_1$是实数，故D错误。
答案：ACD

8. (多选题)已知 $ a \in \mathbf{R} $,$i$ 是虚数单位,若 $ z = a + \sqrt{3}i,z \cdot \overline{z} = 4 $,则 $ a = $ (A；B)
A.$-1$
B.$1$
C.$ - \sqrt{3} $
D.$ \sqrt{3} $

答案： 【解析】：
这个问题主要考察复数的乘法运算和复数的模的计算。
首先，根据题目给出的复数 $z = a + \sqrt{3}i$，我们可以计算出其共轭复数 $\overline{z} = a - \sqrt{3}i$。
接着，根据题目条件 $z \cdot \overline{z} = 4$，我们可以将 $z$ 和 $\overline{z}$ 相乘，即：
$(a + \sqrt{3}i) \cdot (a - \sqrt{3}i) = a^2 - (\sqrt{3}i)^2 = a^2 - (-3) = a^2 + 3$
由于 $z \cdot \overline{z} = 4$，我们可以得到方程 $a^2 + 3 = 4$。
解这个方程，我们可以得到 $a^2 = 1$，进一步解得 $a = \pm 1$。
【答案】：
A；B。

9. 在复平面内,若 $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} $ 对应的复数分别为 $7 + i,3 - 2i$,则 $ |\overrightarrow{AB}| = $ __5__.

答案： 【解析】：
本题主要考查复数的几何意义以及复数模的计算。
首先，根据题目给出的信息，知道在复平面内，向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$对应的复数分别为$7 + i$和$3 - 2i$。
要求的是向量$\overrightarrow{AB}$的模，根据向量的减法，有：
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$。
将对应的复数代入上式，得到：
$\overrightarrow{AB}$对应的复数为$(3 - 2i) - (7 + i) = -4 - 3i$。
接下来，利用复数模的计算公式来求解$|\overrightarrow{AB}|$。
复数模的计算公式为$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，其中$z = a + bi$。
将$\overrightarrow{AB}$对应的复数$-4 - 3i$代入公式，得到：
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
【答案】：
$5$。

10. 已知 $ x \in \mathbf{R},y \in \mathbf{R} $,$ (xi + x) + (yi + 4) = (y - i) - (1 - 3xi) $,则 $ x = $ __6__,$ y = $ __11__.

答案： 【解析】：
首先，根据题目给出的等式 $(xi + x) + (yi + 4) = (y - i) - (1 - 3xi)$，我们需要将两边的实部和虚部分别相等。
将等式左边的实部和虚部分开，得到：
$(x + 4) + (x + y)i$同样，将等式右边的实部和虚部分开，得到：
$(y - 1) + (3x - 1)i$由于两边的实部和虚部必须分别相等，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}x + 4 = y - 1, \text{(实部相等)} \\x + y = 3x - 1. \text{(虚部相等)}\end{cases}$解这个方程组，首先解第一个方程 $x + 4 = y - 1$，得到 $y = x + 5$。
然后，将这个结果代入第二个方程 $x + y = 3x - 1$，得到：
$x + (x + 5) = 3x - 1$化简后得到 $2x + 5 = 3x - 1$，进一步化简得 $x = 6$。
最后，将 $x = 6$ 代入 $y = x + 5$，得到 $y = 11$。
【答案】：
$x = 6, \quad y = 11$

11. 已知 $ z_1 = (3x - 4y) + (y - 2x)i,z_2 = ( - 2x + y) + (x - 3y)i $,$x,y$ 为实数,若 $ z_1 - z_2 = 5 - 3i $,则 $ |z_1 + z_2| = $ __$\sqrt{2}$__.

答案： 【解析】：
本题考查复数的加减运算以及复数模的计算。
首先，根据题目给出的 $z_1$ 和 $z_2$，计算 $z_1 - z_2$：
$z_1 - z_2 = [(3x - 4y) + (y - 2x)i] - [(-2x + y) + (x - 3y)i]$
$= (3x - 4y + 2x - y) + (y - 2x - x + 3y)i$
$= (5x - 5y) + (4y - 3x)i$
由于 $z_1 - z_2 = 5 - 3i$，根据复数相等的条件，实部相等和虚部相等，可以列出方程组：
$\begin{cases}5x - 5y = 5 \\4y - 3x = -3\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}x = 1 \\y = 0\end{cases}$
然后，代入 $x = 1, y = 0$ 到 $z_1$ 和 $z_2$ 中，计算 $z_1 + z_2$：
$z_1 = (3 × 1 - 4 × 0) + (0 - 2 × 1)i = 3 - 2i$
$z_2 = (-2 × 1 + 0) + (1 - 3 × 0)i = -2 + i$
$z_1 + z_2 = (3 - 2i) + (-2 + i) = 1 - i$
最后，计算 $|z_1 + z_2|$：
$|z_1 + z_2| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{2}$。
【答案】：
$\sqrt{2}$

12. 如果复数 $ z $ 满足 $ |z + i| + |z - i| = 2 $,那么 $ |z + i + 1| $ 的最小值是 __1__.

答案： 解：设复数$z=x+yi$（$x,y\in\mathbf{R}$）。
由$|z + i| + |z - i| = 2$，得$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(y-1)^2}=2$。
因为点$(x,y)$到$(0,-1)$与$(0,1)$的距离之和为$2$，而两定点距离为$2$，所以点$(x,y)$在线段$y$轴上$-1\leqslant y\leqslant1$，$x=0$。
则$|z + i + 1|=\sqrt{(0+1)^2+(y+1)^2}=\sqrt{1+(y+1)^2}$。
当$y=-1$时，最小值为$1$。
答案：$1$

13. 已知 $ \overline{z} $ 为 $ z $ 的共轭复数,若 $ z \cdot \overline{z} - 3i\overline{z} = 1 + 3i $,求 $ z $.

答案： 【解析】：
本题主要考查复数的代数形式及其乘法运算，以及复数相等的条件。
设 $z = a + bi$，其中 $a, b \in \mathbf{R}$。
根据共轭复数的定义，有 $\overline{z} = a - bi$。
将 $z$ 和 $\overline{z}$ 代入给定的方程 $z \cdot \overline{z} - 3i\overline{z} = 1 + 3i$，得到 ：
$(a + bi)(a - bi) - 3i(a - bi) = 1 + 3i$。
展开并化简，得到 ：
$a^2 + b^2 - 3bi - 3ai = 1 + 3i$。
根据复数相等的条件，即实部相等和虚部相等，可以列出方程组：
$\begin{cases}a^2 + b^2 - 3b = 1, \\-3a = 3.\end{cases}$
从第二个方程，可以直接解得 $a = -1$。
将 $a = -1$ 代入第一个方程 $a^2 + b^2 - 3b = 1$，得到 ：
$1 + b^2 - 3b = 1$。
化简后得到 $b^2 - 3b = 0$，解此方程得到 $b = 0$ 或 $b = 3$。
所以，$z = -1$ 或 $z = -1 + 3i$。
【答案】：
$z = -1$ 或 $z = -1 + 3i$。