《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

10. 如图,$\overrightarrow{AO}$是某人行走的路线,那么$\overrightarrow{AO}的几何意义是某人从A$点沿西偏南$60^\circ$方向行走了$2$$km$.

答案： 【解析】：
本题主要考查平面向量的概念，特别是向量的方向和模长。
根据题目中的图，可以看出向量$\overrightarrow{AO}$是从点$A$指向原点$O$。
由于$AO$与正东方向（$x$轴正方向）的夹角为$60^\circ$，
因此，从$A$点出发沿这个方向行走，实际上是西偏南$60^\circ$方向（因为是从东方向往回走，所以是西偏）。
向量的模长即为行走的距离，图中明确标注了$A$到$O$的距离为$2km$。
【答案】：
$60^\circ$；$2$。

11. 已知$A$,$B$,$C$是不共线的三点,向量$\boldsymbol{m}与向量\overrightarrow{AB}$是平行向量,与$\overrightarrow{BC}$是共线向量,则$\boldsymbol{m}= $$\boldsymbol{0}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查平面向量的基本概念和性质。
首先，根据题目条件，向量$\boldsymbol{m}$与向量$\overrightarrow{AB}$是平行向量。在平面向量中，平行向量意味着两个向量在同一直线或平行直线上，但方向可以相同或相反。
其次，题目还给出向量$\boldsymbol{m}$与向量$\overrightarrow{BC}$是共线向量。共线向量是方向相同或相反的非零向量，或者其中一个向量是零向量。
然而，题目中明确给出$A$, $B$, $C$是不共线的三点。这意味着三点不构成一条直线，因此，$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$不共线。
由于向量$\boldsymbol{m}$同时与$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$平行（或共线），但$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$不共线，这在平面向量中是一个矛盾的情况，除非$\boldsymbol{m}$是零向量。因为零向量与任何向量都平行且共线。
所以，根据这些分析，我们可以得出结论：$\boldsymbol{m} = \boldsymbol{0}$（零向量）。
【答案】：
$\boldsymbol{0}$

12. 如果在一个边长为5的正$\triangle ABC$中,一个向量所对应的有向线段为$\overrightarrow{AD}$(其中$D在边BC$上运动),则向量$\overrightarrow{AD}$长度的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察平面向量的模长计算以及其在几何中的应用。
首先，由于$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC = BC = 5$。
当$AD$垂直于$BC$时，$AD$的长度最小。这是因为，在给定起点$A$和终点$D$在直线$BC$上的情况下，垂直于$BC$的线段$AD$是最短的。
在等边三角形中，高$AD$可以通过以下公式计算：
$AD = AB × \sin 60^\circ = 5 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$，
其中，$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$是等边三角形中一个内角的正弦值。
【答案】：
$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。

13. 如图是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从$A处跳到A_1$处,用向量$\overrightarrow{AA_1}$表示马走了“一步”,也可以跳到$A_2$处,用向量$\overrightarrow{AA_2}$表示. 请在图中画出马在$B$,$C$处走了“一步”的所有情况.

答案：

14. 设在平面内给定一个四边形$ABCD$,$E$,$F$,$G$,$H分别为AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点.
求证：$\overrightarrow{EF}= \overrightarrow{HG}$.

答案：
证明：连接AC。
在△ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，
根据三角形中位线定理，EF//AC且EF = $\frac{1}{2}$AC，
所以$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$。
在△ADC中，H，G分别为DA，CD的中点，
同理可得HG//AC且HG = $\frac{1}{2}$AC，
所以$\overrightarrow{HG} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$。
因此，$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$。

15. 一辆汽车从$A点出发向西行驶了100\ km到达B$点,然后又改变方向向西偏北$50^{\circ}行驶了200\ km到达C$点,最后又改变方向,向东行驶了$100\ km到达D$点.
(1)作出向量$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{CD}$.
(2)求这辆汽车的位移大小.

答案：
(1) （由于无法直接作图，此处略去图形绘制步骤，实际作答时需按题目要求画出向量$\overrightarrow{AB}$（方向向西，长度表示100km）、$\overrightarrow{BC}$（方向西偏北$50^{\circ}$，长度表示200km）、$\overrightarrow{CD}$（方向向东，长度表示100km））
(2) 解：由题意可知，汽车从A点向西行驶100km到B点，再向东行驶100km到D点，所以$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$大小相等，方向相反，即$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}$。因为$\overrightarrow{BC}$的长度为200km，所以这辆汽车的位移大小为200km。
答：这辆汽车的位移大小为200km。