《2025年世纪金榜新视野暑假作业高一数学》

12.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为$\frac{1}{70},\frac{1}{69},\frac{1}{68}$,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为______$\frac{3}{70}$。

答案： 【解析】：
本题考查的是相互独立事件的概率计算。
首先，我们定义以下事件：
事件$A$：第一道工序出次品；
事件$B$：第二道工序出次品；
事件$C$：第三道工序出次品。
根据题目，已知：
$P(A) = \frac{1}{70}$，
$P(B) = \frac{1}{69}$，
$P(\text{C}) = \frac{1}{68}$，
由于各道工序互不影响，所以这三个事件是相互独立的。
接下来，我们考虑所有工序都正常的情况，记作$\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$，其中$\overline{A}$、$\overline{B}$、$\overline{C}$分别表示第一道、第二道、第三道工序正常。
根据相互独立事件的概率乘法公式，有：
$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = P(\overline{A}) × P(\overline{B}) × P(\overline{C})$
$= (1 - \frac{1}{70}) × (1 - \frac{1}{69}) × (1 - \frac{1}{68})$
$= \frac{69}{70} × \frac{68}{69} × \frac{67}{68}$
$= \frac{67}{70}$，
最后，我们求加工出来的零件的次品率，即至少有一道工序出次品的概率，用$1$减去所有工序都正常的概率：
$P(\text{次品}) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})$
$= 1 - \frac{67}{70}$
$= \frac{3}{70}$
故答案为：$\frac{3}{70}$。
【答案】：$\frac{3}{70}$。

13.判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件.
(1)掷一枚骰子一次,事件M:“出现的点数为奇数”;事件N:“出现的点数为偶数”.
(2)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”;事件B:“出现3点或6点”.

答案： 【解析】：
本题主要考察互斥事件和相互独立事件的定义和判断。
互斥事件：两个事件不能同时发生。
相互独立事件：一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。
(1)对于事件M和N：
事件M：“出现的点数为奇数”包括点数为1，3，5三种情况。
事件N：“出现的点数为偶数”包括点数为2，4，6三种情况。
由于一次掷骰子的结果只能是奇数或偶数，因此M和N不能同时发生，所以M和N是互斥事件。
同时，M发生与否直接影响N的发生（如果M发生，N就不可能发生；反之亦然），所以M和N不是相互独立事件。
(2)对于事件A和B：
事件A：“出现偶数点”包括点数为2，4，6三种情况。
事件B：“出现3点或6点”包括点数为3，6两种情况。
可以看出，当点数为6时，A和B会同时发生，所以A和B不是互斥事件。
另外，事件A的发生（出现偶数点）与事件B的发生（出现3点或6点）在概率上是独立的，
即A发生与否不影响B的发生概率（例如，A发生时B仍有可能发生，A不发生时B也有可能发生），所以A和B是相互独立事件。
【答案】：
(1)M和N是互斥事件，不是相互独立事件。
(2)A和B不是互斥事件，是相互独立事件。

14.甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为$\frac{1}{3}和\frac{1}{4}$,求:
(1)两个人都译出密码的概率.
(2)两个人都译不出密码的概率.
(3)恰有1个人译出密码的概率.

答案： 【解析】：
本题主要考察相互独立事件的概率乘法公式。
(1) 两个人都译出密码的概率：
由于甲、乙两人独立地破译密码，所以他们译出密码的事件是相互独立的。根据相互独立事件的概率乘法公式，两个人都译出密码的概率为甲译出的概率乘以乙译出的概率，即 $P_1 = \frac{1}{3} × \frac{1}{4}$。
(2) 两个人都译不出密码的概率：
甲译不出密码的概率为 $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$，乙译不出密码的概率为 $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。由于这两个事件也是相互独立的，所以两个人都译不出密码的概率为甲译不出的概率乘以乙译不出的概率，即 $P_2 = \frac{2}{3} × \frac{3}{4}$。
(3) 恰有1个人译出密码的概率：
恰有1个人译出密码的情况有两种：甲译出而乙译不出，或甲译不出而乙译出。这两种情况是互斥的，所以恰有1个人译出密码的概率为这两种情况的概率之和。即 $P_3 = \frac{1}{3} × \frac{3}{4} + \frac{2}{3} × \frac{1}{4}$。
【答案】：
(1) 两个人都译出密码的概率为 $P_1 = \frac{1}{3} × \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。
(2) 两个人都译不出密码的概率为 $P_2 = \frac{2}{3} × \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$。
(3) 恰有1个人译出密码的概率为 $P_3 = \frac{1}{3} × \frac{3}{4} + \frac{2}{3} × \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$。

15.甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率.
(2)2人中恰有1人射中目标的概率.
(3)2人至少有1人射中目标的概率.
(4)2人至多有1人射中目标的概率.

答案： 【解析】：
本题主要考察相互独立事件的概率乘法公式以及概率的加法公式。
(1) 两人都射中目标的概率：
由于甲、乙两射击是相互独立的事件，所以两人都射中的概率为各自射中的概率之积，即
$P_1 = 0.8 × 0.9 = 0.72$
(2) 两人中恰有1人射中目标的概率：
这包括两种情况：甲射中乙未射中和甲未射中乙射中。这两种情况是互斥的，所以恰有1人射中的概率为这两种情况的概率之和，即
$P_2 = 0.8 × (1 - 0.9) + (1 - 0.8) × 0.9 = 0.26$
(3) 两人至少有1人射中目标的概率：
这等于1减去两人都未射中的概率，即
$P_3 = 1 - (1 - 0.8) × (1 - 0.9) = 0.98$
(4) 两人至多有1人射中目标的概率：
这包括两人都未射中和恰有1人射中两种情况，所以至多有1人射中的概率为这两种情况的概率之和，即
$P_4 = (1 - 0.8) × (1 - 0.9) + 0.26 = 0.28$
或者利用对立事件的概率公式，至多有1人射中的概率等于1减去两人都射中的概率，即
$P_4 = 1 - P_1 = 1 - 0.72 = 0.28$
【答案】：
(1) $P_1 = 0.72$
(2) $P_2 = 0.26$
(3) $P_3 = 0.98$
(4) $P_4 = 0.28$