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21.(10分)(鼓楼区月考)因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$,即$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$,所以$\sqrt{3}$的整数部分为1,小数部分为$\sqrt{3}-1$。类比以上推理解答下列问题：
(1)求$\sqrt{11}$的整数部分和小数部分；
(2)若$m是11-\sqrt{11}$的小数部分,$n是11+\sqrt{11}$的小数部分,且$(x + 1)^{2}= m + n$,求$x$的值。
(1)求$\sqrt{11}$的整数部分和小数部分；
(2)若$m是11-\sqrt{11}$的小数部分,$n是11+\sqrt{11}$的小数部分,且$(x + 1)^{2}= m + n$,求$x$的值。
答案：
解:
(1)
∵√9＜√11＜√16,即3＜√11＜4,
∴√11的整数部分为3,小数部分为√11-3.
(2)
∵11-√11的小数部分是m,11+√11的小数部分是n,
∴m=11-√11-7=4-√11,n=11+√11-14=√11-3.
∴m+n=4-√11+√11-3=1.
∵(x+1)²=m+n=1,
∴x+1=±1,
解得x=-2或x=0.
(1)
∵√9＜√11＜√16,即3＜√11＜4,
∴√11的整数部分为3,小数部分为√11-3.
(2)
∵11-√11的小数部分是m,11+√11的小数部分是n,
∴m=11-√11-7=4-√11,n=11+√11-14=√11-3.
∴m+n=4-√11+√11-3=1.
∵(x+1)²=m+n=1,
∴x+1=±1,
解得x=-2或x=0.
22.(10分)(2024春·玄武区月考)某小区准备修建一个面积为$75m^{2}$的花坛,甲、乙两个工程队给出如下两种施工方案。
甲：如图①,花坛为长方形,且长与宽的比为3:1。
乙：如图②,花坛为正方形。
(1)求长方形花坛的宽；
(2)嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m。”请你判断嘉淇的说法是否正确,并通过计算说明。
(ImageHere1)
甲：如图①,花坛为长方形,且长与宽的比为3:1。
乙：如图②,花坛为正方形。
(1)求长方形花坛的宽；
(2)嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m。”请你判断嘉淇的说法是否正确,并通过计算说明。
(ImageHere1)
答案：
解:
(1)设长方形花坛的宽为x m,则长为3x m.
由题意得x·3x=75,解得x=5.
答:长方形花坛的宽为5 m.
(2)嘉淇的说法错误.理由如下:
由
(1)知长方形花坛的宽为5米,若嘉淇的说法正确,则正方形花坛的边长为5+3=8(m),正方形花坛的面积为8²=64(m²),64≠75,因此假设不成立,所以嘉淇的说法错误.
(1)设长方形花坛的宽为x m,则长为3x m.
由题意得x·3x=75,解得x=5.
答:长方形花坛的宽为5 m.
(2)嘉淇的说法错误.理由如下:
由
(1)知长方形花坛的宽为5米,若嘉淇的说法正确,则正方形花坛的边长为5+3=8(m),正方形花坛的面积为8²=64(m²),64≠75,因此假设不成立,所以嘉淇的说法错误.
23.(10分)(1)观察被开方数$a的小数点与算术平方根\sqrt{a}$的小数点的移动规律：
| $a$ | 0.0001 | 0.01 | 1 | 100 | 10000 |
| $\sqrt{a}$ | 0.01 | $x$ | 1 | $y$ | 100 |
由规律可知$x=$
(2)根据你发现的规律填空：
①已知$\sqrt{2}\approx1.414$,则$\sqrt{200}\approx$
②已知$\sqrt{m}= 0.274$,记$\sqrt{10000m}的整数部分为x$,则$\sqrt[3]{\frac{1}{x}}=$
| $a$ | 0.0001 | 0.01 | 1 | 100 | 10000 |
| $\sqrt{a}$ | 0.01 | $x$ | 1 | $y$ | 100 |
由规律可知$x=$
0.1
,$y=$10
。(2)根据你发现的规律填空：
①已知$\sqrt{2}\approx1.414$,则$\sqrt{200}\approx$
14.14
,$\sqrt{0.02}\approx$0.1414
；②已知$\sqrt{m}= 0.274$,记$\sqrt{10000m}的整数部分为x$,则$\sqrt[3]{\frac{1}{x}}=$
1/3
。
答案：
(1)0.1 10
(2)①14.14 0.1414 ②1/3
(1)0.1 10
(2)①14.14 0.1414 ②1/3
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