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13.《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发,甲的速度为每单位时间走7步,乙的速度为每单位时间走3步,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇,那么相遇时,甲、乙各走了多远？解：如图,设甲、乙两人从出发到相遇用了$x$个单位时间.根据勾股定理可列得方程为
$(3x)^{2}+10^{2}=(7x - 10)^{2}$
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答案：
$(3x)^{2}+10^{2}=(7x - 10)^{2}$
14. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle B= 90^{\circ}$,$\angle C= 45^{\circ}$.若$AD= 2$,$BC= 3$,则$DC$的值为______.
答案：
$\sqrt{2}$
15. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,分别以点$B和点C$为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧相交于$D$,$E$两点,作直线$DE交AB于点F$,交$BC于点G$,连接$CF$.若$AC= 3$,$CG= 2$,则$CF$的长为______
2.5
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答案：
2.5
16. 如图,正方形$ABCD$的边长为2,其面积标记为$S_{1}$,以$AD$为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为$S_{2}$,按照此规律继续下去,则$S_{2025}$的值为______
$2^{-2022}$
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答案：
$2^{-2022}$
17.(8分)(2024秋·梁溪区月考)如图,在$\triangle ABC$中,$CD\perp AB$,$AB= 5$,$BC= \sqrt{5}$,$CD= 2$.
(1)求$DB$的长；
(2)求证：$AC\perp BC$.
(1)求$DB$的长；
(2)求证：$AC\perp BC$.
答案：
(1)解:
∵CD⊥AB,
∴∠CDA = ∠CDB = 90°,
在Rt△CDB中,BC = $\sqrt{5}$,CD = 2,
∴BD = $\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}}$ = 1,
∴DB的长为1.
(2)证明:
∵AB = 5,BD = 1,
∴AD = AB - BD = 4.
在Rt△ACD中,AC = $\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$,
∴AC² + BC² = (2$\sqrt{5}$)² + ($\sqrt{5}$)² = 25,AB² = 5² = 25,
∴AC² + BC² = AB²,
∴△ABC是直角三角形，
且∠ACB = 90°,
∴AC⊥BC;
(1)解:
∵CD⊥AB,
∴∠CDA = ∠CDB = 90°,
在Rt△CDB中,BC = $\sqrt{5}$,CD = 2,
∴BD = $\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}}$ = 1,
∴DB的长为1.
(2)证明:
∵AB = 5,BD = 1,
∴AD = AB - BD = 4.
在Rt△ACD中,AC = $\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$,
∴AC² + BC² = (2$\sqrt{5}$)² + ($\sqrt{5}$)² = 25,AB² = 5² = 25,
∴AC² + BC² = AB²,
∴△ABC是直角三角形，
且∠ACB = 90°,
∴AC⊥BC;
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