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9. (10分)如图,在等边三角形$ABC$中,$AD是∠BAC$的平分线,$E为AD$上一点,以$BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF$,连接$CF$.
(1)求证:$\triangle ABE\cong \triangle CBF$;
(2)求$∠ACF$的度数.
(1)求证:$\triangle ABE\cong \triangle CBF$;
(2)求$∠ACF$的度数.
答案：
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABE+∠EBC=60°.
∵△BEF是等边三角形,
∴BE=BF,∠CBF+∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠CBF.
在△ABE和△CBF中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBF,\\ BE=BF,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△CBF(SAS).
(2)解:
∵在等边三角形ABC中,AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=30°,∠ACB=60°.
∵△ABE≌△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=30°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°.
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABE+∠EBC=60°.
∵△BEF是等边三角形,
∴BE=BF,∠CBF+∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠CBF.
在△ABE和△CBF中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBF,\\ BE=BF,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△CBF(SAS).
(2)解:
∵在等边三角形ABC中,AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=30°,∠ACB=60°.
∵△ABE≌△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=30°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°.
10. (15分)如图,函数$y= -2x+3与y= -\frac {1}{2}x+m的图象交于点P(n,-2)$.
(1)求$m,n$的值;
(2)不等式$-\frac {1}{2}x+m＞-2x+3$的解集为______
(3)求$\triangle ABP$的面积.
(1)求$m,n$的值;
(2)不等式$-\frac {1}{2}x+m＞-2x+3$的解集为______
x＞$\frac{5}{2}$
;(3)求$\triangle ABP$的面积.
(1)解:∵y=-2x+3过点P(n,-2),
∴-2=-2n+3,解得n=$\frac{5}{2}$,∴P($\frac{5}{2}$,-2).
∵y=$-\frac{1}{2}x+m$的图象过点P($\frac{5}{2}$,-2),
∴-2=$-\frac{1}{2}×\frac{5}{2}+m$,解得m=$-\frac{3}{4}$.
(3)解:∵在y=-2x+3中,当x=0时,y=3.∴A(0,3).
∵在y=$-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$中,当x=0时,y=$-\frac{3}{4}$,
∴B(0,$-\frac{3}{4}$),∴AB=3$\frac{3}{4}$.
∴S△ABP=$\frac{1}{2}AB×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×\frac{5}{2}=\frac{75}{16}$.
∴-2=-2n+3,解得n=$\frac{5}{2}$,∴P($\frac{5}{2}$,-2).
∵y=$-\frac{1}{2}x+m$的图象过点P($\frac{5}{2}$,-2),
∴-2=$-\frac{1}{2}×\frac{5}{2}+m$,解得m=$-\frac{3}{4}$.
(3)解:∵在y=-2x+3中,当x=0时,y=3.∴A(0,3).
∵在y=$-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$中,当x=0时,y=$-\frac{3}{4}$,
∴B(0,$-\frac{3}{4}$),∴AB=3$\frac{3}{4}$.
∴S△ABP=$\frac{1}{2}AB×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×\frac{5}{2}=\frac{75}{16}$.
答案：
(1)解:
∵y=-2x+3过点P(n,-2),
∴-2=-2n+3,解得n=$\frac{5}{2}$,
∴P($\frac{5}{2}$,-2).
∵y=$-\frac{1}{2}x+m$的图象过点P($\frac{5}{2}$,-2),
∴-2=$-\frac{1}{2}×\frac{5}{2}+m$,解得m=$-\frac{3}{4}$.
(2)x＞$\frac{5}{2}$
(3)解:
∵在y=-2x+3中,当x=0时,y=3.
∴A(0,3).
∵在y=$-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$中,当x=0时,y=$-\frac{3}{4}$,
∴B(0,$-\frac{3}{4}$),
∴AB=3$\frac{3}{4}$.
∴S△ABP=$\frac{1}{2}AB×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×\frac{5}{2}=\frac{75}{16}$.
(1)解:
∵y=-2x+3过点P(n,-2),
∴-2=-2n+3,解得n=$\frac{5}{2}$,
∴P($\frac{5}{2}$,-2).
∵y=$-\frac{1}{2}x+m$的图象过点P($\frac{5}{2}$,-2),
∴-2=$-\frac{1}{2}×\frac{5}{2}+m$,解得m=$-\frac{3}{4}$.
(2)x＞$\frac{5}{2}$
(3)解:
∵在y=-2x+3中,当x=0时,y=3.
∴A(0,3).
∵在y=$-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$中,当x=0时,y=$-\frac{3}{4}$,
∴B(0,$-\frac{3}{4}$),
∴AB=3$\frac{3}{4}$.
∴S△ABP=$\frac{1}{2}AB×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×\frac{5}{2}=\frac{75}{16}$.
11. (15分)如图,在$\triangle ABC$中,$AC= 6,BC= 8,AB= 10,∠BCA的平分线CD与AB的垂直平分线DG交于点D,DE⊥CA交CA的延长线于点E,DF⊥CB于点F$.
(1)判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(2)求证:$AE= BF$;
(3)求$DG$的长.
(1)判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(2)求证:$AE= BF$;
(3)求$DG$的长.
答案：
(1)解:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵AC²+BC²=6²+8²=100,AB²=100,
∴AC²+BC²=AB²,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
(2)证明:连接AD,BD.
∵DG是AB的垂直平分线,
∴AD=BD.
∵CD平分∠ACB,DE⊥CA,DF⊥BC,
∴DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),
∴AE=BF.
(3)解:
∵∠ACB=90°,∠CED=∠CFD=90°,
∴∠EDF=90°.
∵Rt△ADE≌Rt△BDF,
∴∠ADE=∠BDF.
∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=90°,
∴∠BDF+∠ADF=90°=∠ADB.
又AD=BD,
∴△ADB是等腰直角三角形.
∵DG⊥AB,
∴AG=BG,
∴DG=$\frac{1}{2}AB=5$.
(1)解:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵AC²+BC²=6²+8²=100,AB²=100,
∴AC²+BC²=AB²,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
(2)证明:连接AD,BD.
∵DG是AB的垂直平分线,
∴AD=BD.
∵CD平分∠ACB,DE⊥CA,DF⊥BC,
∴DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),
∴AE=BF.
(3)解:
∵∠ACB=90°,∠CED=∠CFD=90°,
∴∠EDF=90°.
∵Rt△ADE≌Rt△BDF,
∴∠ADE=∠BDF.
∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=90°,
∴∠BDF+∠ADF=90°=∠ADB.
又AD=BD,
∴△ADB是等腰直角三角形.
∵DG⊥AB,
∴AG=BG,
∴DG=$\frac{1}{2}AB=5$.
12. (20分)如图①,在平面直角坐标系中,点$A,B的坐标分别为(4,0),(0,3)$.
(1)求$AB$的长度;
(2)如图②,若以$AB为边在第一象限内作正方形ABCD$,求点$C$的坐标;
(3)在$x轴上是否存在一点P$,使得$\triangle ABP$是等腰三角形? 若存在,写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求$AB$的长度;
(2)如图②,若以$AB为边在第一象限内作正方形ABCD$,求点$C$的坐标;
(3)在$x轴上是否存在一点P$,使得$\triangle ABP$是等腰三角形? 若存在,写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：
解:
(1)
∵A(4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB=$\sqrt{OA²+OB²}=\sqrt{4²+3²}=5$.
(2)如答图,过点C作CE⊥y轴于点E,
∴∠CBE+∠BCE=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CBE+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠BCE.
在△AOB和△BEC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AOB=∠BEC,\\ ∠ABO=∠BCE,\\ AB=BC,\end{array}\right. $
∴△AOB≌△BEC,
∴BE=OA=4,CE=OB=3,
∴OE=OB+BE=3+4=7,
∴点C的坐标是(3,7).
(3)存在.求解如下:
设P(a,0),
∵A(4,0),B(0,3),
∴PA=|a-4|,PB²=a²+9,AB=5.
当△ABP是等腰三角形时,分以下情况讨论:
当PA=AB时,|a-4|=5,解得a=-1或a=9,
∴点P的坐标为(-1,0)或(9,0).
当PA=PB时,(a-4)²=a²+9,解得a=$\frac{7}{8}$,
∴点P的坐标为($\frac{7}{8}$,0).
当PB=AB时,a²+9=25,解得a=-4(舍正值),
∴点P的坐标为(-4,0).
综上所述,满足条件的点P的坐标为(-1,0),(-4,0),(9,0)和($\frac{7}{8}$,0).
解:
(1)
∵A(4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB=$\sqrt{OA²+OB²}=\sqrt{4²+3²}=5$.
(2)如答图,过点C作CE⊥y轴于点E,
∴∠CBE+∠BCE=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CBE+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠BCE.
在△AOB和△BEC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AOB=∠BEC,\\ ∠ABO=∠BCE,\\ AB=BC,\end{array}\right. $
∴△AOB≌△BEC,
∴BE=OA=4,CE=OB=3,
∴OE=OB+BE=3+4=7,
∴点C的坐标是(3,7).
(3)存在.求解如下:
设P(a,0),
∵A(4,0),B(0,3),
∴PA=|a-4|,PB²=a²+9,AB=5.
当△ABP是等腰三角形时,分以下情况讨论:
当PA=AB时,|a-4|=5,解得a=-1或a=9,
∴点P的坐标为(-1,0)或(9,0).
当PA=PB时,(a-4)²=a²+9,解得a=$\frac{7}{8}$,
∴点P的坐标为($\frac{7}{8}$,0).
当PB=AB时,a²+9=25,解得a=-4(舍正值),
∴点P的坐标为(-4,0).
综上所述,满足条件的点P的坐标为(-1,0),(-4,0),(9,0)和($\frac{7}{8}$,0).
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