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19. 已知$x^{2}+y^{2}= 25$,$x+y= 7$,且$x＞y$,求$x-y$的值.
1
答案：
【解析】
$\because (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$，且$x^2 + y^2 = 25$，$x + y = 7$，
$\therefore 7^2 = 25 + 2xy$，$\therefore xy = 12$。
$\because (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 25 - 2×12 = 1$，
$\therefore x - y = \pm 1$。
$\because x ＞ y$，
$\therefore x - y = 1$。
$\because (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$，且$x^2 + y^2 = 25$，$x + y = 7$，
$\therefore 7^2 = 25 + 2xy$，$\therefore xy = 12$。
$\because (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 25 - 2×12 = 1$，
$\therefore x - y = \pm 1$。
$\because x ＞ y$，
$\therefore x - y = 1$。
20. 已知$(a+b)^{2}= 19$,$(a-b)^{2}= 5$,求：
(1)$a^{2}+b^{2}=$
(1)$a^{2}+b^{2}=$
12
；(2)$ab=$$\frac{7}{2}$
.
答案：
（1）12 （2）$\frac{7}{2}$
21. 求证：对任意整数$n$,整式$(2n+1)(2n-1)-(2-n)(2+n)$的值都能被5整除.
答案：
【解析】
原式$=(2n)^2 - 1 - (2^2 - n^2)$
$= 4n^2 - 1 - 4 + n^2$
$= 5n^2 - 5$
$= 5(n^2 - 1)$。
$\because n$为整数，
$\therefore 5(n^2 - 1)$能被 5 整除，
$\therefore$对任意整数$n$，整式$(2n + 1)(2n - 1) - (2 - n)(2 + n)$的值都能被 5 整除。
原式$=(2n)^2 - 1 - (2^2 - n^2)$
$= 4n^2 - 1 - 4 + n^2$
$= 5n^2 - 5$
$= 5(n^2 - 1)$。
$\because n$为整数，
$\therefore 5(n^2 - 1)$能被 5 整除，
$\therefore$对任意整数$n$，整式$(2n + 1)(2n - 1) - (2 - n)(2 + n)$的值都能被 5 整除。
22. 阅读下列材料,回答问题：
材料一：我们定义一种新运算：我们把形如$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $这样的式子叫作“行列式”,行列式的运算方式是：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad-bc$.例如：$\begin{vmatrix}2&3\\5&6\end{vmatrix}= 2×6-3×5$；$\begin{vmatrix}x&3\\x&4\end{vmatrix}= 4x-3x= x$.
材料二：在探究$(x-y)^{3}= $？的时候,我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其展开：$(x-y)^{3}= (x-y)(x-y)(x-y)= (x^{2}-2xy+y^{2})(x-y)= x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}$,我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”.按同样的方法我们得出“和的完全立方公式”为：$(x+y)^{3}= x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$.这两个公式常运用在简便运算等过程.
(1)计算：$\begin{vmatrix}5&4\\8&9\end{vmatrix} = $
(2)已知$x+y= 3$,$xy= 1$,求$x^{3}+y^{3}$的值.
(3)已知$m= x-1$,$n= x+2$,求$\begin{vmatrix}m&3m^{2}+n^{2}\\n&m^{2}+3n^{2}\end{vmatrix} $的值.
材料一：我们定义一种新运算：我们把形如$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $这样的式子叫作“行列式”,行列式的运算方式是：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad-bc$.例如：$\begin{vmatrix}2&3\\5&6\end{vmatrix}= 2×6-3×5$；$\begin{vmatrix}x&3\\x&4\end{vmatrix}= 4x-3x= x$.
材料二：在探究$(x-y)^{3}= $？的时候,我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其展开：$(x-y)^{3}= (x-y)(x-y)(x-y)= (x^{2}-2xy+y^{2})(x-y)= x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}$,我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”.按同样的方法我们得出“和的完全立方公式”为：$(x+y)^{3}= x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$.这两个公式常运用在简便运算等过程.
(1)计算：$\begin{vmatrix}5&4\\8&9\end{vmatrix} = $
13
；$(a-1)^{3}= $$a^3 - 3a^2 + 3a - 1$
.(2)已知$x+y= 3$,$xy= 1$,求$x^{3}+y^{3}$的值.
(3)已知$m= x-1$,$n= x+2$,求$\begin{vmatrix}m&3m^{2}+n^{2}\\n&m^{2}+3n^{2}\end{vmatrix} $的值.
答案：
【解析】
（1）13 $a^3 - 3a^2 + 3a - 1$
（2）$\because x + y = 3$，$xy = 1$。
$\therefore x^3 + y^3$
$= (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2$
$= (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
$= 3^3 - 3×1×3 = 18$。
（3）$\because m = x - 1$，$n = x + 2$，
$\therefore m - n = -3$，
$\therefore \begin{vmatrix}m&3m^2 + n^2\\n&m^2 + 3n^2\end{vmatrix}$
$= m(m^2 + 3n^2) - n(3m^2 + n^2)$
$= m^3 + 3mn^2 - 3m^2n - n^3$
$= m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$
$= (m - n)^3$
$= (-3)^3$
$= -27$。
（1）13 $a^3 - 3a^2 + 3a - 1$
（2）$\because x + y = 3$，$xy = 1$。
$\therefore x^3 + y^3$
$= (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2$
$= (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
$= 3^3 - 3×1×3 = 18$。
（3）$\because m = x - 1$，$n = x + 2$，
$\therefore m - n = -3$，
$\therefore \begin{vmatrix}m&3m^2 + n^2\\n&m^2 + 3n^2\end{vmatrix}$
$= m(m^2 + 3n^2) - n(3m^2 + n^2)$
$= m^3 + 3mn^2 - 3m^2n - n^3$
$= m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$
$= (m - n)^3$
$= (-3)^3$
$= -27$。
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