《2025年暑期衔接培优集训七年级升八年级数学》

17. 已知关于 $x$ 的方程 $3(x - 2a) + 2 = 2x - a + 1$ 的解不适合不等式 $\frac{x - 5}{4} ＞ a$,求 $a$ 的取值范围。

答案： [解析]3(x−2a)+2=2x−a+1,
解得x=5a−1,
$\frac{x−5}{4}$＞a,
解得x＞4a+5.
根据题意,得5a−1≤4a+5,
解得a≤6.

18. 对 $x$,$y$ 定义一种新运算,规定：$f(x, y) = \frac{ax + by}{2x + y}$(其中 $a$,$b$ 均为非零常数)。例如：$f(0, 1) = \frac{a × 0 + b × 1}{2 × 0 + 1} = b$。已知 $f(1, -1) = -2$,$f(4, 2) = 1$。
(1)求 $a$,$b$ 的值；
(2)若关于 $m$ 的不等式 $f(2m, 5 - 4m) \leq 5 - 2k$ 恰好有 3 个负整数解,求实数 $k$ 的取值范围。
(1)$a=1$，$b=3$
(2)$-3 < k \leq -2$

答案： [解析]
(1)由题意得$\begin{cases} \frac{a - b}{2 - 1} = -2 \\ \frac{4a + 2b}{8 + 2} = 1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \end{cases}$;
(2)由
(1)可知:f(x,y)=$\frac{x+3y}{2x+y}$,
∴f(2m,5−4m)=$\frac{2m+3(5−4m)}{2×2m+5−4m}$=3−2m≤5−2k,
∴m≥−1+k,
∵不等式f(2m,5−4m)≤5−2k恰好有3个负整数解，
∴−4＜−1+k≤−3,
∴−3＜k≤−2.

19. 阅读下列材料,并完成问题解答：
已知“$x - y = 2$,且 $x ＞ 1$,$y ＜ 0$,试确定 $x + y$ 的取值范围”有如下解法：
解：$\because x - y = 2$,$\therefore x = y + 2$。又 $\because x ＞ 1$,$\therefore y + 2 ＞ 1$。$\therefore y ＞ -1$。又 $\because y ＜ 0$,$\therefore -1 ＜ y ＜ 0$ ①,同理 $1 ＜ x ＜ 2$ ②,
由 ① + ② 得 $-1 + 1 ＜ x + y ＜ 0 + 2$,$\therefore x + y$ 的取值范围是 $0 ＜ x + y ＜ 2$。
(1)请按照上述方法,完成下列问题：
已知 $x - y = 3$,且 $x ＞ 3$,$y ＜ 2$,则 $x + y$ 的取值范围是3＜x+y＜7；
(2)请仿照上述方法,深入思考后完成下列问题：
已知 $x + y = 3$,且 $x ＞ 2$,$y ＞ -3$,试确定 $x - y$ 的取值范围。
∵x+y=3,
∴x=−y+3,
∵x＞2,
∴−y+3＞2,
∴y＜1,
∵y＞−3,
∴−3＜y＜1,
∴−1＜−y＜3　①,
同理,可得2＜x＜6　②,
由①+②,得−1+2＜x−y＜3+6,
即1＜x−y＜9,
∴x−y的取值范围是1＜x−y＜9.

答案： [解析]
(1)3＜x+y＜7;
(2)
∵x+y=3,
∴x=−y+3,
∵x＞2,
∴−y+3＞2,
∴y＜1,
∵y＞−3,
∴−3＜y＜1,
∴−1＜−y＜3　①,
同理,可得2＜x＜6　②,
由①+②,得−1+2＜x−y＜3+6,
即1＜x−y＜9,
∴x−y的取值范围是1＜x−y＜9.