《2025年暑期衔接培优集训七年级升八年级数学》

11. 定义：从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角. 如图①所示,若$∠COD= \frac {1}{2}∠AOB,$则∠COD是∠AOB的内半角.
(1)如图①所示,已知$∠AOB= 70^{\circ },∠AOC= 15^{\circ },∠COD$是∠AOB的内半角,则∠BOD= ______20°.
(2)如图②,已知$∠AOB= 63^{\circ },$将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度$α(0＜α＜63^{\circ })$至∠COD,当旋转的角度α为何值时,∠COB是∠AOD的内半角？(3)已知$∠AOB= 30^{\circ },$把一块含有$30^{\circ }$角的三角尺如图③叠放,将三角尺绕顶点O以每秒旋转$3^{\circ }$的速度按顺时针方向旋转,如图④,在旋转一周的过程中,射线OD始终在∠AOB的外部,射线OA、OB、OC、OD能否构成内半角？若能,请直接写出旋转的时间；若不能,请说明理由.

答案：
【解析】
(1) $20^{\circ}$
(2) 由旋转可知，$∠AOC = ∠BOD = \alpha$，
∴ $∠BOC = 63^{\circ} - \alpha$，$∠AOD = 63^{\circ} + \alpha$，
∵ $∠COB$ 是 $∠AOD$ 的内半角，
∴ $∠COB = \frac{1}{2}∠AOD$，
∴ $63^{\circ} - \alpha = \frac{63^{\circ} + \alpha}{2}$，
解得 $\alpha = 21^{\circ}$，
当旋转的角度 $\alpha$ 为 $21^{\circ}$ 时，$∠COB$ 是 $∠AOD$ 的内半角；
(3) 能，$\frac{10}{3}$ 秒，30 秒，90 秒．
理由如下：
由旋转可知，$∠AOC = ∠BOD = 3^{\circ}t$；根据题意可分以下四种情况：
① 当射线 $OC$ 在 $∠AOB$ 内，如题图④，
此时，$∠BOC = 30^{\circ} - 3^{\circ}t$，$∠AOC = 30^{\circ} + 3^{\circ}t$，
则 $∠COB$ 是 $∠AOD$ 的内半角，
∴ $∠COB = \frac{1}{2}∠AOD$，
∴ $30^{\circ} - 3^{\circ}t = \frac{1}{2}(30^{\circ} + 3^{\circ}t)$，
解得 $t = \frac{10}{3}$（秒）；
② 当射线 $OC$ 在 $∠AOB$ 外部，有以下两种情况，
如图 1，此时，$∠BOC = 3^{\circ}t - 30^{\circ}$，$∠AOC = 30^{\circ} + 3^{\circ}t$，
则 $∠COB$ 是 $∠AOD$ 的内半角，
∴ $∠COB = \frac{1}{2}∠AOD$，
∴ $3^{\circ}t - 30^{\circ} = \frac{1}{2}(30^{\circ} + 3^{\circ}t)$，
解得 $t = 30$（秒）；

如图 2，此时，$∠BOC = 360^{\circ} - 3^{\circ}t + 30^{\circ}$，$∠AOC = 360^{\circ} - 3^{\circ}t - 30^{\circ}$，
则 $∠AOD$ 是 $∠BOC$ 的内半角，
∴ $∠AOD = \frac{1}{2}∠BOC$，
∴ $360^{\circ} - 3^{\circ}t - 30^{\circ} = \frac{1}{2}(360^{\circ} - 3^{\circ}t + 30^{\circ})$，
解得 $t = 90$（秒）；
综上，在旋转一周的过程中，射线 $OA$、$OB$、$OC$、$OD$ 构成内半角时，旋转的时间分别为：$\frac{10}{3}$ 秒，30 秒，90 秒．