《2025年暑期衔接培优集训七年级升八年级数学》

12. 解方程组：$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+y}{6}+\frac {x-y}{10}= 3,\\ \frac {x+y}{6}-\frac {x-y}{10}= -1.\end{array} \right. $
解：设$\frac{x + y}{6} = m$，$\frac{x - y}{10} = n$，则原方程组可化为$\begin{cases} m + n = 3, \\ m - n = -1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m = 1 \\ n = 2 \end{cases}$，即$\begin{cases} \frac{x + y}{6} = 1 \\ \frac{x - y}{10} = 2 \end{cases}$，所以$\begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 20 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 13 \\ y = -7 \end{cases}$，所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 13 \\ y = -7 \end{cases}$。

答案： 【解析】设$\frac{x + y}{6} = m$，$\frac{x - y}{10} = n$，则
原方程组可化为$\begin{cases} m + n = 3, & ① \\ m - n = -1, & ② \end{cases}$
解得$\begin{cases} m = 1 \\ n = 2 \end{cases}$，
即$\begin{cases} \frac{x + y}{6} = 1 \\ \frac{x - y}{10} = 2 \end{cases}$，所以$\begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 20 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x = 13 \\ y = -7 \end{cases}$，
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 13 \\ y = -7 \end{cases}$。

13. 试求方程组$\left\{\begin{array}{l} |x-2|= 7-|y-5|,\\ |x-2|= y-6\end{array} \right. $的解.
$\begin{cases} x=-1 \\ y=9 \end{cases}$或$\begin{cases} x=5 \\ y=9 \end{cases}$

答案： 【解析】$\begin{cases} |x - 2| = 7 - |y - 5|, & ① \\ |x - 2| = y - 6. & ② \end{cases}$
$① - ②$，整理得$|y - 5| = 13 - y$。 ③
$\because |y - 5| \geq 0$，$\therefore 13 - y \geq 0$，即$y \leq 13$。
当$5 \leq y \leq 13$时，③可化为$y - 5 = 13 - y$，解得$y = 9$；
当$y \leq 5$时，③可化为$5 - y = 13 - y$，无解。
将$y = 9$代入②，得$|x - 2| = 3$，解得$x = -1$或$x = 5$。
综上可得，原方程组的解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = 9 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 5 \\ y = 9 \end{cases}$。

14. 对有理数 x、y,定义新运算$x\otimes y= ax+by+5$,其中 a,b 为常数,已知$1\otimes 2= 10,(-2)\otimes 2= 7$.
(1)求 a,b 的值；
a=1，b=2
(2)如果$x= -3,x\otimes y= -18$,求 y 的值.
y=-10

答案： 【解析】
(1) 由题意得$\begin{cases} a + 2b + 5 = 10 \\ -2a + 2b + 5 = 7 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases}$；
(2) 由
(1)知，$a = 1$，$b = 2$，
$\therefore x \otimes y = ax + by + 5 = x + 2y + 5 = -18$，
又$\because x = -3$，
$\therefore -3 + 2y + 5 = -18$，
解得$y = -10$。

15. 对于两个不相等的实数 a、b,我们规定符号$max\{ a,b\} $表示 a、b 中的较大值,$min\{ a,b\} $表示 a、b 中的较小值. 如：$max\{ 2,4\} = 4,min\{ 2,4\} = 2$. 按照这个规定：
解方程组：$\left\{\begin{array}{l} max\{ x,-x\} = \frac {1}{3}y\\ min\{ 3x+9,3x+11\} = 4y\end{array} \right. $.
方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-\dfrac{3}{5} \\ y=\dfrac{9}{5} \end{cases}$

答案： 【解析】当$x \geq 0$时，由题意得$\begin{cases} x = \frac{1}{3}y \\ 3x + 9 = 4y \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$；
当$x ＜ 0$时，由题意得$\begin{cases} -x = \frac{1}{3}y \\ 3x + 9 = 4y \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x = -\frac{3}{5} \\ y = \frac{9}{5} \end{cases}$。
综上所述，方程组的解为$\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$或$\begin{cases} x = -\frac{3}{5} \\ y = \frac{9}{5} \end{cases}$。