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10. 已知：如图,$\triangle ABC$中,$\angle ABC= \angle C$,$BD\perp AC$于 $D$,求证：$\angle DBC= \frac{1}{2}\angle A$.
证明：
证明：
$\because \angle A+\angle ABC+\angle C=180^{\circ},\angle ABC=\angle C$，$\therefore \angle A+2\angle C=180^{\circ}$，$\because BD\perp AC$，$\therefore \angle DBC+\angle C=90^{\circ}$，$\therefore 2\angle DBC+2\angle C=180^{\circ}$，$\therefore 2\angle DBC=\angle A$，$\therefore \angle DBC=\frac{1}{2}\angle A$
.
答案：
10. 【解析】$\because \angle A+\angle ABC+\angle C=180^{\circ},\angle ABC=\angle C$，
$\therefore \angle A+2\angle C=180^{\circ}$，
$\because BD\perp AC$，
$\therefore \angle DBC+\angle C=90^{\circ}$，
$\therefore 2\angle DBC+2\angle C=180^{\circ}$，
$\therefore 2\angle DBC=\angle A$
$\therefore \angle DBC=\frac{1}{2}\angle A$。
$\therefore \angle A+2\angle C=180^{\circ}$，
$\because BD\perp AC$，
$\therefore \angle DBC+\angle C=90^{\circ}$，
$\therefore 2\angle DBC+2\angle C=180^{\circ}$，
$\therefore 2\angle DBC=\angle A$
$\therefore \angle DBC=\frac{1}{2}\angle A$。
11. 如图所示,在五边形 $ABCDE$ 中,$AB// CD$,$\angle A = 130^{\circ}$,$\angle B = 70^{\circ}$,$\angle D = 125^{\circ}$.求$\angle C$、$\angle E$的度数.
$\angle C=$
$\angle C=$
$110^{\circ}$
，$\angle E=$$105^{\circ}$
.
答案：
11. 【解析】$\because AB// CD$，
$\therefore \angle B+\angle C=180^{\circ}$，
$\therefore \angle C=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$，
$\because$五边形$ABCDE$的内角和为$180^{\circ}×(5 - 2)=540^{\circ}$，
$\therefore \angle E=540^{\circ}-\angle A-\angle B-\angle C-\angle D=540^{\circ}-130^{\circ}-70^{\circ}-110^{\circ}-125^{\circ}=105^{\circ}$。
$\therefore \angle B+\angle C=180^{\circ}$，
$\therefore \angle C=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$，
$\because$五边形$ABCDE$的内角和为$180^{\circ}×(5 - 2)=540^{\circ}$，
$\therefore \angle E=540^{\circ}-\angle A-\angle B-\angle C-\angle D=540^{\circ}-130^{\circ}-70^{\circ}-110^{\circ}-125^{\circ}=105^{\circ}$。
12. 证明任意四个连续整数之和不可能是408.
答案：
12. 【解析】假设任意四个连续整数之和是$408$，
设第一个整数是$x$，
则其余整数分别为$x + 1$、$x + 2$、$x + 3$，
由题意得：$x+x+1+x+2+x+3=408$，
解得：$x = 100.5$，
这与$x$是整数相矛盾，
$\therefore$任意四个连续整数之和不可能是$408$。
设第一个整数是$x$，
则其余整数分别为$x + 1$、$x + 2$、$x + 3$，
由题意得：$x+x+1+x+2+x+3=408$，
解得：$x = 100.5$，
这与$x$是整数相矛盾，
$\therefore$任意四个连续整数之和不可能是$408$。
13. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C$,点 $E$、$F$分别在 $AC$、$BC$ 边上,延长 $FE$、$BA$ 交于点 $D$.
(1)若$\angle D = 30^{\circ}$,$\angle AED = 40^{\circ}$,求$\angle EFC$的度数；
(2)若$\angle D= \angle AED$,求证 $DF\perp BC$.
(1)若$\angle D = 30^{\circ}$,$\angle AED = 40^{\circ}$,求$\angle EFC$的度数；
85°
(2)若$\angle D= \angle AED$,求证 $DF\perp BC$.
答案：
13. 【解析】
(1) $\because \angle B+\angle D+\angle BFD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle BFD=180^{\circ}-\angle B-\angle D=180^{\circ}-\angle B-30^{\circ}=150^{\circ}-\angle B$
$\therefore \angle CFD=180^{\circ}-\angle BFD=180^{\circ}-(150^{\circ}-\angle B)=30^{\circ}+\angle B$
$\because \angle FEC=\angle AED=40^{\circ},\angle FEC+\angle C+\angle CFD=180^{\circ}$，
$\therefore 40^{\circ}+\angle C+30^{\circ}+\angle B=180^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle C=110^{\circ}$。
$\because \angle B=\angle C$，
$\therefore \angle B=55^{\circ}$，
$\therefore \angle EFC=30^{\circ}+\angle B=85^{\circ}$；
(2) $\because \angle FEC=\angle AED,\angle D=\angle AED$，
$\therefore \angle D=\angle FEC$，
$\because \angle BFD+\angle B+\angle D=180^{\circ},\angle EFC+\angle C+\angle FEC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle BFD=180^{\circ}-\angle B-\angle D,\angle EFC=180^{\circ}-\angle C-\angle FEC$，
又$\because \angle B=\angle C$，
$\therefore \angle BFD=\angle EFC$，
又$\because \angle BFD+\angle EFC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle EFC=90^{\circ}$，
$\therefore DF\perp BC$。
(1) $\because \angle B+\angle D+\angle BFD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle BFD=180^{\circ}-\angle B-\angle D=180^{\circ}-\angle B-30^{\circ}=150^{\circ}-\angle B$
$\therefore \angle CFD=180^{\circ}-\angle BFD=180^{\circ}-(150^{\circ}-\angle B)=30^{\circ}+\angle B$
$\because \angle FEC=\angle AED=40^{\circ},\angle FEC+\angle C+\angle CFD=180^{\circ}$，
$\therefore 40^{\circ}+\angle C+30^{\circ}+\angle B=180^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle C=110^{\circ}$。
$\because \angle B=\angle C$，
$\therefore \angle B=55^{\circ}$，
$\therefore \angle EFC=30^{\circ}+\angle B=85^{\circ}$；
(2) $\because \angle FEC=\angle AED,\angle D=\angle AED$，
$\therefore \angle D=\angle FEC$，
$\because \angle BFD+\angle B+\angle D=180^{\circ},\angle EFC+\angle C+\angle FEC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle BFD=180^{\circ}-\angle B-\angle D,\angle EFC=180^{\circ}-\angle C-\angle FEC$，
又$\because \angle B=\angle C$，
$\therefore \angle BFD=\angle EFC$，
又$\because \angle BFD+\angle EFC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle EFC=90^{\circ}$，
$\therefore DF\perp BC$。
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