《2025年暑期衔接培优集训七年级升八年级数学》

13. 某工人计划在 15 天里加工 408 个零件,前三天每天加工 24 个,问以后每天至少加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务？

答案： 【解析】设三天后每天加工$x$个零件，根据题意得：
$24×3 + (15 - 3)x ＞ 408$，
解得$x ＞ 28$。
因为$x$为正整数，
所以以后每天加工的零件数至少为 29。

14. 某村为解决村民出行难的问题,村委会决定将一条长为 1200 m 的村级公路硬化,并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工. 若甲、乙两队合作需 12 天完成此项工程；若甲队先做了 8 天后,剩下的由乙队单独做还需 18 天才能完工.
(1)问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)又已知甲队每施工一天需要费用 2 万元,乙队每施工一天需要费用 1 万元,要使完成该工程所需费用不超过 35 万元,则乙工程队至少要施工多少天？

答案： 【解析】
(1) 设甲单独做需要用$x$天，乙单独做需要$y$天，根据题意可得：
$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ \frac{8}{x} + \frac{18}{y} = 1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 20 \\ y = 30\end{cases}$。
答：甲单独做需要用 20 天，乙单独做需要 30 天。
(2) 甲的工效：$1200÷20 = 60$，乙的工效：$1200÷30 = 40$，
$\because 2×20 = 40 ＞ 35$，
$\therefore$设乙需要做$a$天，由题意可得：
$2×\frac{1200 - 40a}{60} + a ≤ 35$，
解得$a ≥ 15$。
答：乙工程队至少要施工 15 天。

15. 污水治理,保护环境,某市治污公司决定购买 $A$,$B$ 两种型号污水处理设备共 12 台,已知 $A$,$B$ 两种型号的设备,每台的价格、月处理污水量如下表：
| | $A$ 型 | $B$ 型 |
| 价格/(万元/台) | $a$ | $b$ |
| 处理污水量/(吨/月) | 220 | 180 |
经调查：购买一台 $A$ 型设备比购买一台 $B$ 型设备多 3 万元,购买 1 台 $A$ 型设备比购买 3 台 $B$ 型设备少 3 万元.
(1)求 $a$,$b$ 的值；
(2)经预算：治污公司购买污水处理设备的资金不超过 50 万元,若两种设备都要购买,你认为该公司有哪几种购买方案；
(3)在(2)问的条件下,若每月要求处理的污水量不低于 2260 吨,为了节约资金,请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案.

答案： 【解析】
(1) 根据题意得$\begin{cases}a - b = 3 \\ 3b - a = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 6 \\ b = 3\end{cases}$。
(2) 解：设购买$A$型设备$x$台，$B$型设备$(12 - x)$台，
根据题意得，
$6x + 3(12 - x) ≤ 50$，
$\therefore x ≤ \frac{14}{3}$，
$\because x$取正整数，
$\therefore x = 1、2、3、4$，
答：有四种购买方案：
①$A$型设备 1 台，$B$型设备 11 台；
②$A$型设备 2 台，$B$型设备 10 台；
③$A$型设备 3 台，$B$型设备 9 台；
④$A$型设备 4 台，$B$型设备 8 台。
(3) 解：根据题意，得$220x + 180(12 - x) ≥ 2260$，
$\therefore x ≥ \frac{5}{2}$，
又$\because x ≤ \frac{14}{3}$，
$\therefore \frac{5}{2} ≤ x ≤ \frac{14}{3}$，
$\because x$取正整数，
$\therefore x$为 3 或 4。
当$x = 3$时，购买资金为$3×6 + 9×3 = 45$（万元），
当$x = 4$时，购买资金为$4×6 + 8×3 = 48$（万元），
$45 ＜ 48$，
答：为了节约资金，应选购$A$型设备 3 台，$B$型设备 9 台。