《2025年暑期衔接培优集训七年级升八年级数学》

13. 已知关于$ x $,$ y $的二元一次方程 $kx + y = 3 - k $,$ k $是不为零的常数.
(1)如果$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 2, } \\ { y = - 3 } \end{array} \right. $是该方程的一个解,求$ k $的值；2
(2)当$ k $每取一个不为零的值时,都可得到一个方程,而这些方程都有一组公共的解,试求出这个公共解.$\begin{cases}x = -1\\y = 3\end{cases}$

答案： 【解析】
(1) 把 $\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases}$ 代入二元一次方程 $kx + y = 3 - k$ 中，得 $2k - 3 = 3 - k$，
$\therefore k = 2$；
(2) 原方程可化为 $k(x + 1) + y = 3$，
当 $x + 1 = 0$ 时，无论 $k$ 取任何一个不为零的值时，都有 $y = 3$，
此时 $x = -1$，
$\therefore$ 这个公共解是 $\begin{cases}x = -1\\y = 3\end{cases}$。

14. 若关于$ x $、$ y $的二元一次方程变形为 $y = ax + b$ 的形式($ a $、$ b $是常数,$ a \neq 0 $),则其中一对常数$ a $、$ b $称为该二元一次方程的“相伴系数对”,记为$ ( a, b ) $.例如二元一次方程$ 3x - 2y = 1 $变形为 $y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} $,则二元一次方程$ 3x - 2y = 1 $的“相伴系数对”为$ \left( \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} \right) $.
(1)二元一次方程$ x + 3y = 0 $的“相伴系数对”为$\left(-\frac{1}{3},0\right)$；
(2)已知$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 3, } \\ { y = - 11 } \end{array} \right. $是关于 $x$、$ y $的二元一次方程的一个解,且该方程的“相伴系数对”为$ ( 2k, k + 3 ) $,写出这个二元一次方程$4x + y = 1$；
(3)关于$ x $、$ y $的二元一次方程 $( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) x - 2y + 2mn = 0 $,已知该方程的“相伴系数对”之和为 2,求$ m + n $的值$\pm 2$.

答案： 【解析】
(1) $(-\frac{1}{3},0)$
(2) $4x + y = 1$
(3) 将关于 $x$、$y$ 的二元一次方程 $(m^2 + n^2)x - 2y + 2mn = 0$ 变形为 $y = \frac{m^2 + n^2}{2}x + mn$，
$\therefore$ “相伴系数对”为 $(\frac{m^2 + n^2}{2},mn)$，
$\because$ 该方程的“相伴系数对”之和为 2，
$\therefore \frac{m^2 + n^2}{2} + mn = 2$，
$\therefore m^2 + n^2 + 2mn = 4$，
$\therefore (m + n)^2 = 4$，
$\therefore m + n = \pm 2$。