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1.学校计划为“百年党史,红色传承”演讲比赛购买奖品,已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元;购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元.
(1)求A,B两种奖品的单价.
(2)学校准备购买A,B两种奖品共25个,且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的$\frac{1}{3}$,购买奖品的花费不得高于600元.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
(1)求A,B两种奖品的单价.
(2)学校准备购买A,B两种奖品共25个,且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的$\frac{1}{3}$,购买奖品的花费不得高于600元.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
答案：
1. （1）$A$种奖品的单价为$30$元，$B$种奖品的单价为$20$元。
2. （2）最省钱的购买方案是购买$A$种奖品$7$个，$B$种奖品$18$个。理由：设购买$A$种奖品$m$个，总费用$W = 10m + 500$，$W$随$m$的增大而增大，由$m\geqslant\frac{1}{3}(25 - m)$和$30m + 20(25 - m)\leqslant600$得$6.25\leqslant m\leqslant10$，$m$为正整数，所以当$m = 7$时，$W$最小。
2. （2）最省钱的购买方案是购买$A$种奖品$7$个，$B$种奖品$18$个。理由：设购买$A$种奖品$m$个，总费用$W = 10m + 500$，$W$随$m$的增大而增大，由$m\geqslant\frac{1}{3}(25 - m)$和$30m + 20(25 - m)\leqslant600$得$6.25\leqslant m\leqslant10$，$m$为正整数，所以当$m = 7$时，$W$最小。
2.生活常识告诉我们:糖水里再添加糖,在糖完全溶解的情况下,糖水会变得更甜.我们把含糖的质量与糖水质量的比值称为甜度,甜度越大糖水越甜.小观现在有一杯质量为100克的糖水,其中含有a克糖(0＜a＜100);他尝了一下感觉不够甜,又向其中添加了10克糖,并搅拌至完全溶解.
(1)这杯糖水原来的甜度为 ,加糖后的甜度为 .
(2)根据加糖前后的甜度,请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,甜度应不低于10%,又不超过15%.如果上述操作后甜度符合要求,那么a应该在什么范围?
(1)这杯糖水原来的甜度为 ,加糖后的甜度为 .
(2)根据加糖前后的甜度,请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,甜度应不低于10%,又不超过15%.如果上述操作后甜度符合要求,那么a应该在什么范围?
答案：
1. （1）$\frac{a}{100}$；$\frac{a + 10}{110}$
2. （2）证明过程如上述解析，因为$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}=\frac{100 - a}{1100}$，且$0\lt a\lt100$，所以$\frac{100 - a}{1100}＞0$，即$\frac{a + 10}{110}＞\frac{a}{100}$，说明加糖后变甜了。
3. （3）$1\leq a\leq6.5$
2. （2）证明过程如上述解析，因为$\frac{a + 10}{110}-\frac{a}{100}=\frac{100 - a}{1100}$，且$0\lt a\lt100$，所以$\frac{100 - a}{1100}＞0$，即$\frac{a + 10}{110}＞\frac{a}{100}$，说明加糖后变甜了。
3. （3）$1\leq a\leq6.5$
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