《2025年快乐暑假天天练七年级数学》

1. 如图,在$9× 8$的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为$1$,点$A$,$B$,$C$均在格点上,请只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求作图并回答(3)中问题。
(1)将$\triangle ABC向右平移3$个单位长度,得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2)将$\triangle ABC绕点A逆时针旋转90^{\circ}$,得到$\triangle AB_{2}C_{2}$；
(3)图中$AC_{2}与A_{1}C_{1}$的位置关系为______。

答案：
(1) 按上述方法作出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
(2) 按上述方法作出$\triangle AB_{2}C_{2}$。
(3) 平行。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$a$,$b$,$c分别是\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边,点$E是BC$上一个动点(点$E与点B$,点$C$不重合),连结$AE$。已知$a$,$b满足\begin{cases}b - 6 = 0,\\2a - b = 10,\end{cases}且c是不等式组\begin{cases}\dfrac{x + 12}{4}\leqslant x + 6,\\\dfrac{2x + 2}{3}＞x - 3\end{cases}$的最大整数解。
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)若$AE平分\triangle ABC$的周长,求$\angle AEC$的度数。

答案： $(1)$解方程组$\begin{cases}b - 6 = 0\\2a - b = 10\end{cases}$，得$\begin{cases}b = 6\\a = 8\end{cases}$；
解不等式组$\begin{cases}\dfrac{x + 12}{4}\leqslant x + 6\\\dfrac{2x + 2}{3}\gt x - 3\end{cases}$得$-4\leqslant x\lt 11$，$c = 10$。
所以$a = 8$，$b = 6$，$c = 10$。
$(2)$因为$AE$平分$\triangle ABC$周长，$\triangle ABC$周长为$24$，所以$CE + AC=12$，又$AC = 6$，则$CE = 6$。
在$Rt\triangle ACE$中，$AC = CE$，$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle AEC = 45^{\circ}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{a = 8}$，$\boldsymbol{b = 6}$，$\boldsymbol{c = 10}$；$(2)$$\boldsymbol{\angle AEC = 45^{\circ}}$。