《2025年快乐暑假天天练七年级数学》

4. 【问题呈现】

如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 80^{\circ}$,$\angle ACB= 50^{\circ}$,$BP平分\angle ABC$,$CP平分\angle ACB$,求$\angle BPC$的度数.
对于上述问题,在解答过程中的横线填上适当的内容(理由或数学式)；
解：$\because BP平分\angle ABC$(已知),
$\therefore \angle PBC= \frac{1}{2}\angle ABC= \frac{1}{2}× 80^{\circ}=40^{\circ}$,
同理可得$\angle PCB= $______$^{\circ}$.
$\because \angle BPC+\angle PBC+\angle PCB= 180^{\circ}$(______),
$\therefore \angle BPC= 180^{\circ}-\angle PBC-\angle PCB= $______$^{\circ}$.
【问题推广】
(1) 如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$,$\angle ACB的平分线交于点P$,将$\triangle ABC沿DE折叠使得点A与点P$重合,若$\angle 1+\angle 2= 100^{\circ}$,求$\angle BPC$的度数.
(2) 如图2,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC的平分线与外角\angle ACM的平分线交于点P$,过点$C作CN\perp BP于点N$,若$\angle A= 82^{\circ}$,则$\angle PCN= $______$^{\circ}$.

答案： 问题呈现
$25$；三角形内角和定理；$115$。
问题推广
$(1)115^{\circ}$；$(2)49$。