《2025年快乐暑假天天练七年级数学》

3. 相信很多人家里都有“巧手妈妈”,图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫,图2是某学校操场铺的地砖. 它们或是用单独的正多边形,或是用多种正多边形混合拼接成的,拼成的图案严丝合缝,不留空隙. 从数学角度看,这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖,通常把这类问题叫作用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题.

(1) 如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分,是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由.
(2) 如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分,是否能镶嵌成一个平面图形？如果能,应如何搭配进行平铺？请说明理由.

答案：
(1) 能。理由：正三角形内角为$60^{\circ}$，$360^{\circ}\div60^{\circ}=6$，$360^{\circ}$能被正三角形内角整除，所以限用一种正三角形能镶嵌成一个平面图形。
(2) 能。搭配：$1$个正三角形和$2$个正十二边形。理由：正三角形内角$60^{\circ}$，正十二边形内角$150^{\circ}$，设用$x$个正三角形，$y$个正十二边形，$60x + 150y = 360$，当$x = 1$，$y = 2$时满足方程，所以可以用$1$个正三角形和$2$个正十二边形镶嵌。