《2025年快乐暑假天天练七年级数学》

1. 下面是小华同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程.
已知：$\angle AOB$.
求作：$\angle ADC$,使$\angle ADC = 2\angle AOB$.
作法：①如图,在射线$OB上任取一点C$；
②作线段$OC$的垂直平分线,交$OA于点D$,交$OB于点E$,连结$DC$. 可知$\angle ADC$即为所求的角.
根据小华设计的尺规作图过程,回答下列问题：
(1) 使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹).
(2) 求证：$\angle ADC = 2\angle AOB$.

答案：
(1) 按照上述作线段垂直平分线的方法补全图形（保留作图痕迹）。
(2) 证明过程如上述解析，证得$\angle ADC = 2\angle AOB$。

2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$.
(1) 利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)：
①作$\angle B的平分线BD$,交$AC于点D$；
②过点$D作DE\perp AB$,垂足为点$E$.
(2) 试猜想线段$DE与CD$之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1) 按上述尺规作图步骤作出图形。
(2) $DE = CD$，理由如上述解析。