《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

2.某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为$\mu = 500$ g，$\sigma = 1$ g.为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机抽取产品，测量其质量.当检查员随机抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理？

答案： 解：检查员的决定是有道理的. 理由如下：
当该设备正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为 $\mu = 500g$，$\sigma = 1g$，所以根据正态分布的性质可知，产品质量在区间 $[\mu - 3\sigma,\mu + 3\sigma]$ 内，即 $[497,503]$ 内的概率约为 0.9973，而产品的质量超出这个范围的概率只有 0.0027，这是一个几乎不可能发生的事件. 但是检查员随机抽取的产品为 504g，这说明设备的运行可能不正常，因此检查员的决定是有道理的.

[例1] 鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天卖出3箱鲜花饼的概率为$\frac{1}{5}$，卖出2箱的概率为$\frac{1}{2}$，卖出1箱的概率为$\frac{1}{5}$，没有卖出的概率为$\frac{1}{10}$.为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出2箱及以上，则需补货至3箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有3箱鲜花饼.
(1)在第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率；
(2)求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率.

答案： 解:设事件A:第二天开始营业时货架上有3箱鲜花饼;事件B:第二天开始营业时货架上有2箱鲜花饼;事件C:第二天结束营业时货架上有1箱存货。
(1)因为第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼，故第二天只卖出1箱，故P(C|B)=$\frac{1}{5}$。
(2)由题意得P(A)=$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{5}$，P(B)=$\frac{1}{5}$，P(C|A)=$\frac{1}{2}$。
由全概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{11}{25}$。