《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

[典例2] 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)分为三份，每份2本；
(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本.

答案： 解:
(1)先从6本书中选2本给甲,有$C_{6}^{2}$种选法;再从其余的4本中选2本给乙,有$C_{4}^{2}$种选法;最后从余下的2本书中选2本给丙，有$C_{2}^{2}$种选法.所以分给甲、乙、丙三人,每人2本,共有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}=90$种方法.
(2)分给甲、乙、丙三人,每人2本有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种方法，这个过程可以分两步完成:第1步分为三份，每份2本，设有$x$种方法;第2步再将这三份分给甲、乙、丙三人有$A_{3}^{3}$种方法.根据分步乘法计数原理可得$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}=xA_{3}^{3}$，所以$x = \frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}} = 15$.因此分为三份，每份2本一共有15种方法.
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}=60$种方法.
(4)在
(3)的基础上再进行全排列，所以一共有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}A_{3}^{3}=360$种方法.
(5)可以分为三类:①“2,2,2型”，即
(1)中的分配情况,有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}=90$种方法;②“1,2,3型”，即
(4)中的分配情况,有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}A_{3}^{3}=360$种方法;③“1,1,4型”，有$C_{6}^{4}A_{3}^{3}=90$种方法.所以一共有$90 + 360 + 90 = 540$种方法.

1.按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
(1)各组人数分别为2，4，6人；
(2)平均分成3个小组；
(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间.

答案： 解:
(1)$C_{12}^{2}C_{10}^{4}C_{6}^{6}=13860$.
(2)$\frac{C_{12}^{4}C_{8}^{4}C_{4}^{4}}{A_{3}^{3}}=5775$.
(3)分两步:第1步平均分3组，第2步让3个小组分别进入3个不同车间，故有$\frac{C_{12}^{4}C_{8}^{4}C_{4}^{4}}{A_{3}^{3}}\cdot A_{3}^{3}=C_{12}^{4}\cdot C_{8}^{4}\cdot C_{4}^{4}=34650$种不同的分法.