《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

【对点练清】
1. 已知随机变量 $X$，且 $D(10X)=\frac{100}{9}$，则 $X$ 的标准差为 ________

答案： 解析：由题意可知$D(10X)=\frac{100}{9}$，即$100D(X)=\frac{100}{9}$，
$\therefore D(X)=\frac{1}{9}$，$\therefore\sqrt{D(X)}=\frac{1}{3}$，
即$X$的标准差为$\frac{1}{3}$.
答案：$\frac{1}{3}$

2. 已知随机变量 $\xi$ 的分布列为
　　
若 $E(\xi)=\frac{2}{3}$：
（1）求 $D(\xi)$ 的值；
（2）若 $\eta = 3\xi - 2$，求 $D(\eta)$ 的值。

答案： 解：由分布列的性质，得$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+p = 1$，解得$p=\frac{1}{6}$.
$\because E(\xi)=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{3}+\frac{1}{6}x=\frac{2}{3}$，$\therefore x = 2$.
（1）$D(\xi)=(0-\frac{2}{3})^{2}\times\frac{1}{2}+(1-\frac{2}{3})^{2}\times\frac{1}{3}+(2-\frac{2}{3})^{2}\times\frac{1}{6}=\frac{15}{27}=\frac{5}{9}$.
（2）$\because\eta = 3\xi-2$，$\therefore D(\eta)=D(3\xi - 2)=9D(\xi)=5$.

[典例 3] 甲、乙两名射击选手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 $\xi$ 与 $\eta$，且 $\xi$，$\eta$ 的分布列为

（1）求 $a$，$b$ 的值；
（2）计算 $\xi$，$\eta$ 的期望与方差，并依此分析甲、乙的技术状况。

答案： 解：（1）由离散型随机变量分布列的性质得
$a + 0.1+0.6 = 1$，解得$a = 0.3$.
同理$0.3 + b+0.3 = 1$，解得$b = 0.4$.
（2）$E(\xi)=1\times0.3+2\times0.1+3\times0.6=2.3$，
$E(\eta)=1\times0.3+2\times0.4+3\times0.3=2$，
$D(\xi)=(1 - 2.3)^{2}\times0.3+(2 - 2.3)^{2}\times0.1+(3 - 2.3)^{2}\times0.6=0.81$，
$D(\eta)=(1 - 2)^{2}\times0.3+(2 - 2)^{2}\times0.4+(3 - 2)^{2}\times0.3=0.6$.
由于$E(\xi)＞E(\eta)$，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但$D(\xi)＞D(\eta)$，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人的技术水平都不够全面，各有优势与劣势.