《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

[典例3] 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A、B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答.若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列.
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
[尝试解题]

答案：
解：（1）由题意，$X$ 的取值分别为0，20，100，
则 $P(X = 0)=0.2$，$P(X = 20)=0.8\times0.4 = 0.32$，
$P(X = 100)=0.8\times0.6 = 0.48$，
所以 $X$ 的分布列为

（2）由（1）得，先回答 $A$ 类问题的期望 $E(X)=0\times0.2+20\times0.32+100\times0.48=54.4$。
设先回答 $B$ 类问题累计得分为 $Y$，$Y$ 的取值可能为0，80，100，
则 $P(Y = 0)=0.4$，$P(Y = 80)=0.6\times0.2 = 0.12$，$P(Y = 100)=0.6\times0.8 = 0.48$，
所以 $Y$ 的分布列为

则 $E(Y)=0\times0.4+80\times0.12+100\times0.48=57.6$。
因为 $E(Y)＞E(X)$，所以应选择先回答 $B$ 类问题。

体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.
已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案.
方案甲：逐个检查每位体检人的血液.
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
（1）哪种化验方案更好？
（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.

答案： 解：（1）方案甲中，化验的次数一定为5次。
方案乙中，若记化验次数为 $X$，则 $X$ 的取值范围是 $\{1,6\}$。
因为5人都不患病的概率为 $(1 - 0.1)^{5}=0.59049$，
所以 $P(X = 1)=0.59049$，$P(X = 6)=0.40951$。
从而 $E(X)=1\times0.59049+6\times0.40951=3.04755$。
这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好。
（2）若记方案乙中检查费用为 $Y$ 元，则 $Y = 100X$，从而可知
$E(Y)=304.755$，
即方案乙的平均化验费用为304.755元。