《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

4. 若自然数n使得作竖式加法n+(n + 1)+(n + 2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”. 例如：32是“开心数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23+24+25产生进位现象. 那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12

答案： D

5. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读. 数学中有回文数，如343，12521等. 两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是____________.

答案： 解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末(首)位可能为2，4，6，8.如果末(首)位为2，中间一位数有10种可能，同理可得如果末(首)位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有4×10 = 40个.
答案：40

[典例1] 有0，1，2，3，4五个数字，则：
（1）可以排成多少个三位数？
（2）可以排出多少个三位数字的电话号码？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

答案： 解：
(1)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5 = 100个.
(2)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5 = 5³ = 125个.
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3 = 12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3 = 18种排法.因而有12 + 18 = 30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

1.在本例条件下，可以排成多少个能被3整除的四位数？

答案： 解：一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故排成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类.所以满足题设的四位数共有2×3×3×2×1 = 36个.