《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

1.二项式$\left(\sqrt{x}+\dfrac{2}{x^{2}}\right)^{10}$的展开式中的常数项是（ ）
A.180 B.90 C.45 D.360

答案： A

2.若$(x^{2}-a)\cdot\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{10}$的展开式中$x^{6}$的系数为$30$，则$a$等于（ ）
A.$\dfrac{1}{3}$ B.$\dfrac{1}{2}$ C.1 D.2

答案： D

题型三 二项式系数与项的系数问题
[探究发现]
(1)在$(a + b)^n$的二项展开式中，其第$k$项是什么？
(2)在$(a + b)^n$的二项展开式中，$T_{k + 1}=C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$是二项展开式的第几项？其二项式系数是什么？

答案：
(1)提示:$T_{k}=T_{(k - 1)+1}=C_{n}^{k - 1}a^{n-(k - 1)}b^{k - 1}$；
(2)提示:$T_{k + 1}=C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$是二项展开式的第$k + 1$项，其二项式系数为$C_{n}^{k}$

[典例3] (1)求二项式$\left(2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}\right)^{10}$的展开式中第$6$项的二项式系数和第$6$项的系数；
(2)求$\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{9}$的展开式中$x^{2}$的系数.
[尝试解题]

1.本例(1)条件不变，问题改为“求第$4$项的二项式系数和第$4$项的系数”，该如何求解？

2.本例(2)条件不变，问题改为“求展开式中$x^{5}$的系数”，该如何求解？

答案： 解:
(1)由已知得二项展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{10}^{r}(2\sqrt{x})^{10 - r}\cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{r}=2^{10 - r}\cdot C_{10}^{r}\cdot(-1)^{r}\cdot x^{5-\frac{3r}{2}}$，$\therefore$第$6$项的二项式系数为$C_{10}^{5}=252$，第$6$项的系数为$C_{10}^{5}\cdot(-1)^{5}\cdot 2^{5}=-8064$；
(2)设展开式中的第$r + 1$项为含$x^{3}$的项，则$T_{r + 1}=C_{9}^{r}x^{9 - r}\cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{r}=(-1)^{r}\cdot C_{9}^{r}\cdot x^{9 - 2r}$，令$9 - 2r = 3$，得$r = 3$，即展开式中第$4$项含$x^{3}$，其系数为$(-1)^{3}\cdot C_{9}^{3}=-84$
@@解:由通项$T_{r + 1}=(-1)^{r}\cdot C_{10}^{r}\cdot 2^{10 - r}\cdot x^{5-\frac{3r}{2}}$，知第$4$项的二项式系数为$C_{10}^{3}=120$，第$4$项的系数为$C_{10}^{3}\cdot(-1)^{3}\cdot 2^{7}=-15360$
@@解:设展开式中第$r + 1$项为含$x^{5}$的项，则$T_{r + 1}=(-1)^{r}\cdot C_{9}^{r}\cdot x^{9 - 2r}$，令$9 - 2r = 5$，得$r = 2$。即展开式中的第$3$项含$x^{5}$，且系数为$C_{9}^{2}=36$