《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析. 球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.

（1）当球员甲出场比赛时，求球队获胜的概率；
（2）当球员甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率.

答案： 解：
(1)设$A_{1}$表示“球员甲担当边锋”，$A_{2}$表示“球员甲担当前卫”，$A_{3}$表示“球员甲担当中场”，$A_{1},A_{2},A_{3}$两两互斥，设B表示“球队赢了某场比赛”，
则$P(B)=P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})+P(A_{3})P(B|A_{3})=0.5\times0.6 + 0.3\times0.8 + 0.2\times0.7 = 0.68$。故当球员甲出场比赛时，球队获胜的概率为0.68。
(2)由
(1)知，$P(B)=0.68$，
则$P(A_{2}|B)=\frac{P(A_{2}B)}{P(B)}=\frac{0.3\times0.8}{0.68}=\frac{6}{17}$。
所以球员甲担当前卫的概率为$\frac{6}{17}$。

[典例3] 张宇去某地参加会议，他乘高铁、汽车、飞机去的概率分别为0.5，0.3，0.2. 他乘高铁、汽车、飞机前往迟到的概率分别为$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，乘其他交通工具前往迟到的概率不变. 若他迟到了，求他乘的是高铁的概率.
[尝试解题]

答案： 解：设$B =$“迟到”，$A_{1}=$“乘高铁”，$A_{2}=$“乘汽车”，$A_{3}=$“乘飞机”。
根据题意，有$P(A_{1}) = 0.5,P(A_{2}) = 0.3,P(A_{3}) = 0.2$，
$P(B|A_{1})=\frac{1}{12},P(B|A_{2})=\frac{1}{4},P(B|A_{3})=\frac{1}{3}$。
由贝叶斯公式，有$P(A_{1}|B)=$
$\frac{P(A_{1})P(B|A_{1})}{P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})+P(A_{3})P(B|A_{3})}$
$=\frac{0.5\times\frac{1}{12}}{0.5\times\frac{1}{12}+0.3\times\frac{1}{4}+0.2\times\frac{1}{3}}=\frac{5}{22}$。
因此，张宇乘的是高铁的概率为$\frac{5}{22}$。

已知在所有男子中有5％患有色盲症，所有女子中有0.25％患有色盲症. 随机抽一人发现患色盲症，问：其为男子的概率是多少?（设男子和女子的人数相等，保留两位有效数字）

答案： 解：设A表示抽到的为男子，B表示抽到的为女子，C表示抽到的人有色盲症。
则$P(A)=P(B)=0.5,P(C|A)=0.05$，
$P(C|B)=0.0025$，
由贝叶斯公式有
$P(A|C)=\frac{P(A)P(C|A)}{P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)}$
$=\frac{0.5\times0.05}{0.5\times0.05 + 0.5\times0.0025}\approx0.95$。
即随机抽一人发现患色盲症且为男子的概率为0.95。