《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

1. 离散型随机变量的方差：
（1）设离散型随机变量 $X$ 的分布列为
　　
则称 $D(X)=(x_1 - E(X))^2p_1+(x_2 - E(X))^2p_2+\cdots+(x_n - E(X))^2p_n=$___________ 为随机变量 $X$ 的方差，有时也记为 $Var(X)$，并称 $\sqrt{D(X)}$ 为随机变量 $X$ 的___________，记为 $\sigma(X)$。
（2）随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的___________。方差或标准差越小，随机变量的取值越___________；方差或标准差越大，随机变量的取值越___________。
（3）两点分布的方差
若 $X$ 服从两点分布，则 $D(X)=p(1 - p)$ （其中 $p$ 为成功概率）。

答案： 知识点
（一）1.（1）$\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}$ 标准差 （2）离散程度 集中 分散 （3）$p(1 - p)$ 

2. 方差的性质：
$D(aX + b)=$___________，$D(C)=$___________（$C$ 是常数）。

答案： 2.$a^{2}D(X)$ 0

[微思考] 求随机变量 $Y = aX + b$ 的方差有哪些方法？

答案： [微思考]
提示：可有两种方法，方法一，先求$Y$的分布列，再求其均值，最后求方差；方法二，应用公式$D(aX + b)=a^{2}D(X)$求解.

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）：
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. （ ）
（2）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. （ ）
（3）离散型随机变量 $\xi$ 的方差 $D(\xi)$ 反映了 $\xi$ 取值的波动水平. （ ）
（4）若随机变量 $X$ 的方差 $D(X)=\frac{2}{3}$，则 $D(2x + 1)=2\times\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$. （ ）

答案： （1）× （2）√ （3）√ （4）×

2. 已知随机变量 $X$ 的分布列为
　　　　　　　
设 $Y = 2X + 3$，则 $D(Y)$ 等于（ ）
A. $\frac{8}{3}$
B. $\frac{5}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{3}$

答案： A

3. 已知随机变量 $\xi$，$D(\xi)=\frac{1}{9}$，则 $\xi$ 的标准差为 $\frac{1}{3}$。

答案： $\frac{1}{3}$

4. 若 $D(\xi)=1$，则 $D(\xi - D(\xi))=1$。

答案： 1