《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

[典例 1] 一个袋中有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放回地抽取 2 个球，记事件“第 1 次抽到黑球”为$A$，事件“第 2 次抽到黑球”为$B$.
（1）分别求事件$A,B,A\cap B$发生的概率；
（2）求$P(B|A)$.
[尝试解题]

答案： 解：
(1)由古典概型的概率公式可知，$P(A)=\frac{2}{5}$，$P(B)=\frac{2×1 + 3×2}{5×4}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$，$P(AB)=\frac{2×1}{5×4}=\frac{1}{10}$.
(2)$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{4}$.

【对点练清】
1. 太行山脉有很多优美的旅游景点. 现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从 C，D，E，F 4 个著名旅游景点中随机选择一个游玩. 设事件$A$为“甲和乙至少一人选择 C”，事件$B$为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率$P(B|A)=$（ ）
A. $\frac{7}{16}$
B. $\frac{7}{8}$
C. $\frac{3}{7}$
D. $\frac{6}{7}$

答案： D

[典例 2] 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目. 如果不放回地依次抽取 2 个节目，求：
（1）第 1 次抽到舞蹈节目的概率；
（2）第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率；
（3）在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次也抽到舞蹈节目的概率.
[尝试解题]

答案： 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件$A\cap B$.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个节目的样本点总数为$n(\Omega)=A_{6}^{2}=30$，
根据分步计数原理得$n(A)=A_{4}^{1}A_{5}^{1}=20$，
于是$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$.
(2)因为$n(A\cap B)=A_{4}^{2}=12$，
于是$P(AB)=\frac{n(A\cap B)}{n(\Omega)}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.
(3)法一：由
(1)
(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次也抽到舞蹈节目的概率为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{5}$.
法二：因为$n(A\cap B)=12$，$n(A)=20$，
所以$P(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.

2. 某校高三（1）班有学生 40 人，其中共青团员 15 人. 全班分成 4 个小组，第一小组有学生 10 人，共青团员 4 人. 从该班任选一人作为学生代表参加该校举办的报告会.
（1）求选到的是共青团员的概率；
（2）求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率；
（3）已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率.

答案： 解：设“选到的是共青团员”为事件A，“选到的是第一小组学生”为事件B，则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB.
(1)$P(A)=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$.
(2)$P(AB)=\frac{4}{40}=\frac{1}{10}$.
(3)法一：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{8}}=\frac{4}{15}$.
法二：由题意知，事件A所包含的基本事件个数为15，事件AB所包含的基本事件个数为4，
$\therefore P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}=\frac{4}{15}$.