《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

[典例3] 根据要求完成下列各题.
(1)计算：$\frac{A_{9}^{5}+A_{9}^{4}}{A_{10}^{6}-A_{10}^{5}}$；
(2)解方程：$3A_{x}^{3}=4A_{x - 1}^{4}$；
(3)解不等式：$A_{8}^{x}＜6A_{8}^{x - 2}$；
(4)化简：$1! + 2\cdot2! + 3\cdot3! + \cdots + n\cdot n!$.

答案： 解:
(1)原式=$\frac{5A_{9}^{4}+A_{9}^{4}}{5A_{10}^{5}-A_{10}^{5}}$=$\frac{6A_{9}^{4}}{4A_{10}^{5}}$=$\frac{6A_{9}^{4}}{40A_{9}^{4}}$=$\frac{6}{40}$=$\frac{3}{20}$.
(2)由排列数公式,原方程可化为
　3×$\frac{x!}{(x - 3)!}$=4×$\frac{(x - 1)!}{(x - 5)!}$,
　化简,得3=$\frac{4×(x - 1)}{(x - 3)(x - 4)}$,
　即$x^{2}-19x + 78 = 0$，解得$x = 6$或$x = 13$.
　因为$x\leq8$，所以原方程的解是$x = 6$.
(3)由排列数公式，得$\frac{8!}{(8 - x)!}$＜6×$\frac{8!}{(10 - x)!}$,
　化简,得1＜$\frac{6}{(10 - x)(9 - x)}$,
即$x^{2}-19x + 84＜0$,
　所以$7＜x＜12$.
　又因为$x\in N^{*}$，$0\leq x\leq8$，$0\leq x - 2\leq8$，
　所以$2\leq x\leq8$且$x\in N^{*}$，
　所以$x = 8$.
(4)
∵$n\cdot n!=[(n + 1)-1]\cdot n!=(n + 1)!-n!$,
∴原式=$(2! - 1)+(3! - 2!)+(4! - 3!)+\cdots+[(n + 1)! - n!]=(n + 1)! - 1$.
　

按要求完成下列各题.
(1)计算：$\frac{2A_{8}^{5}+7A_{8}^{4}}{A_{8}^{8}-A_{9}^{5}}$；
(2)若$3A_{n}^{2}=2A_{n + 1}^{2}+6A_{n}^{2}$，求$n$；
(3)计算：$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{n - 1}{n!}(n\geq2$且$n\in N^{*})$；
(4)解不等式：$3A_{x}^{3}\leq2A_{x + 1}^{2}+6A_{x}^{2}$.

答案： 解:
(1)$\frac{2A_{8}^{5}+7A_{8}^{4}}{A_{8}^{8}-A_{9}^{5}}$=$\frac{2\times8\times7\times6\times5\times4 + 7\times8\times7\times6\times5}{8! - 9\times8\times7\times6\times5}$=1.
(2)由$3A_{n}^{3}=2A_{n + 1}^{2}+6A_{n}^{2}$，得
　$3n(n - 1)(n - 2)=2(n + 1)n+6n(n - 1)$.
　因为$n\geq3$且$n\in N^{*}$，
　所以$3n^{2}-17n + 10 = 0$.
　解得$n = 5$或$n=\frac{2}{3}$(舍去).
　所以$n = 5$.
(3)
∵$\frac{n - 1}{n!}=\frac{1}{(n - 1)!}-\frac{1}{n!}$,
∴$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{n - 1}{n!}=(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!})+(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!})+(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!})+\cdots+[\frac{1}{(n - 1)!}-\frac{1}{n!}]=1-\frac{1}{n!}$.
(4)因为$A_{x}^{3}=x(x - 1)(x - 2)$，$A_{x + 1}^{2}=(x + 1)x$，$A_{x}^{2}=x(x - 1)$，所以原不等式可化为$3\times(x - 1)(x - 2)\leq2\times(x + 1)x+6\times(x - 1)$，$x\geq3$，解得$3\leq x\leq5$，易知$x\in N^{*}$，所以原不等式的解集为$\{3,4,5\}$.

1.(多选)9人身高各不相同，排成两排，前排4人，后排5人的所有排列个数为（ ）
A.$A_{9}^{9}$ B.$A_{9}^{4}\times A_{5}^{5}$ C.$A_{9}^{5}\times A_{4}^{4}$ D.$A_{5}^{5}\times A_{4}^{4}$

答案： ABC

2.若$A_{2n}^{3}=2A_{n + 1}^{4}$，则$\log_{n}25$的值为________.

答案： 解析:由$A_{2n}^{3}=2A_{n + 1}^{4}$，得$\frac{(2n)!}{(2n - 3)!}=2\times\frac{(n + 1)!}{(n - 3)!}$，解得$n = 5$（$n = 0$舍去），所以$\log_{n}25=\log_{5}25 = 2$.
　答案:2

3.从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ）
A.60种 B.80种 C.100种 D.120种

答案： D

4.$m(m + 1)(m + 2)\cdots(m + 20)$可表示为（ ）
A.$A_{m}^{2}$ B.$A_{m}^{21}$ C.$A_{m + 20}^{2}$ D.$A_{m + 20}^{21}$

答案： D

5.数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们得到$e = 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{e^{\theta}}{(n + 1)!}$(其中$e$为自然对数的底数，$0＜\theta＜1$.$n! = n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times2\times1$)，其拉格朗日余项是$R_{n}=\frac{e^{\theta}}{(n + 1)!}$.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的$e$的近似值也就越精确.若$\frac{3}{(n + 1)!}$近似地表示$e$的泰勒公式的拉格朗日余项$R_{n}$，当$R_{n}$不超过$\frac{1}{1000}$时，正整数$n$的最小值是_______.

答案： 解析:依题意得$\frac{3}{(n + 1)!}\leq\frac{1}{1000}$，即$(n + 1)!\geq3000$.因为$(5 + 1)!=6\times5\times4\times3\times2\times1 = 720＜3000$，$(6 + 1)!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1 = 5040＞3000$，所以$n$的最小值是6.
　答案:6