《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

2.6个相同的小球放入4个编号分别为1,2,3,4 的盒子，求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子.

答案： 解:
(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有$C_{5}^{3}=10$种.
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行:先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有$C_{5}^{2}$种插法;然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有$C_{4}^{1}$种插法.故共有$C_{5}^{2}\cdot C_{4}^{1}=40$种.
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行:先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有$C_{5}^{1}$种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有$C_{3}^{2}$种插法；②将这两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有$C_{3}^{1}$种插法.故共有$C_{5}^{1}\cdot(C_{3}^{2}+C_{3}^{1})=30$种.

[典例3] 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C₁，C₂，…，C₆，线段AB上有异于A，B的四个点D₁，D₂，D₃，D₄.

(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C₁点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

答案： 解:
(1)法一:可作出三角形$C_{6}^{3}+C_{6}^{1}\cdot C_{4}^{2}+C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{1}=116$个.其中以$C_{1}$为顶点的三角形有$C_{5}^{2}+C_{5}^{1}\cdot C_{4}^{1}+C_{4}^{2}=36$个.法二:可作三角形$C_{10}^{3}-C_{4}^{3}=116$个.其中以$C_{1}$为顶点的三角形有$C_{5}^{2}+C_{5}^{1}\cdot C_{4}^{1}+C_{4}^{2}=36$个.
(2)可作出四边形$C_{6}^{4}+C_{6}^{3}\cdot C_{4}^{1}+C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{2}=360$个.

1.平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形的个数为（ ）
A.10 B.12 C.16 D.18

答案： D

2.四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？

答案： 解:如图,从10个点中任取4个点有$C_{10}^{4}$种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类:第一类，4个点在四面体的同一个面内，有$4C_{6}^{4}$种;第二类，一条棱上三点与对棱的中点共面，有6种;第三类，从6条棱的中点中取4个点且4点为平行四边形顶点时，有3种.综上可知，不同的取法共有$C_{10}^{4}-(4C_{6}^{4}+6 + 3)=141$种.

[典例4] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.

答案： 解:
(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有$C_{5}^{2}C_{3}^{3}+C_{5}^{1}C_{3}^{4}$种，后排有$A_{5}^{5}$种，共$(C_{5}^{2}C_{3}^{3}+C_{5}^{1}C_{3}^{4})\cdot A_{5}^{5}=5400$种选法.
(2)除去该女生后，先选后排有$C_{7}^{4}\cdot A_{4}^{4}=840$种选法.
(3)先选后排，但先安排该男生有$C_{7}^{4}\cdot C_{4}^{1}\cdot A_{4}^{4}=3360$种选法.
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有$C_{6}^{3}$种，再安排该男生有$C_{3}^{1}$种，其余3人全排列有$A_{3}^{3}$种，共$C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{1}\cdot A_{3}^{3}=360$种选法.