《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

[典例3] 王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书. 他欲带参考书到图书馆阅读.
（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？
（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？
[尝试解题]

答案： 解：
(1)要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语书，还是带数学书或物理书，事情都可完成，从而根据分类加法计数原理，共有5 + 4 + 3 = 12种不同的带法.
(2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此根据分步乘法计数原理，共有5×4×3 = 60种不同的带法.

为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数有多少？

答案： 解：依题意可分为两种情况，一种是参加乐器培训的是女生，则参加舞蹈和演唱培训的都是1名男生和1名女生，共有3×2×2 = 12种方案；另一种是参加乐器培训的是男生，则参加舞蹈培训的有1名女生和1名男生或者是2名女生，剩下的2人参加演唱培训，共有2×(3 + 3) = 12种方案.根据分类加法计数原理知不同的推荐方案共有12 + 12 = 24种.

1. 如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）
A. 15对
B. 25对
C. 30对
D. 20对

答案： A

2. （多选）已知a∈{2，3，4}，b∈{4，6，7}，则方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$可表示不同的椭圆的个数，用式子表示为（ ）
A. 3+3+3
B. 3+3+2
C. 3×3 - 1
D. 3×3

答案： BC

3. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若甲、乙两人共付费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
（2）若甲、乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？

答案： 解：
(1)由甲、乙两人共付费6元，得甲、乙一人付费2元，一人付费4元.又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选择，所以甲、乙下地铁的方案共有(3×4)×2 = 24种.
(2)甲、乙两人共付费8元，则甲、乙一人付费2元，一人付费6元，或两人都付费4元；
当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有3×5 = 15种方案；
当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案；若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案；若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案.
综上，甲比乙先下地铁的方案共有15 + 3 + 2 + 1 = 21种.