《2025年高中新课程学习指导数学选择性必修第三册人教版》

二项式定理及相关的概念：

[微思考] 二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？
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答案： $C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n - 1}b + C_{n}^{2}a^{n - 2}b^{2}+\cdots + C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}+\cdots + C_{n}^{n}b^{n}$；$C_{n}^{k}$；$k + 1$；
@@提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指$C_{n}^{0},C_{n}^{1},\cdots,C_{n}^{n}$，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与$a$，$b$的值有关

1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1)$(a + b)^n$展开式中共有$n$项. （ ）
(2)二项式$(a + b)^n$与$(b + a)^n$展开式中第$r + 1$项相同. （ ）
(3)$C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$是$(a + b)^n$展开式中的第$k$项. （ ）

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)×

2.$(x + 1)^n$的展开式共有$11$项，则$n$等于（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12

答案： B

3.$(x-\sqrt{2})^{10}$展开式中$x^{5}$项的二项式系数为（ ）
A.$-C_{10}^{4}$ B.$C_{10}^{4}$ C.$-4C_{10}^{4}$ D.$4C_{10}^{4}$

答案： B

4.$C_{n}^{0}\cdot2^{n}+C_{n}^{1}\cdot2^{n - 1}+\cdots + C_{n}^{k}\cdot2^{n - k}+\cdots + C_{n}^{n}=$____.

答案： $3^{n}$

5.$\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{16}$的二项展开式中第$4$项是____.

答案： $-560x^{10}$