《2025年名师伴你行高中同步导学案高中物理必修第二册人教版》

如图所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动.

（1）行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
（2）行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？

答案： 提示：
(1) 由 $G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$ 得 $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，线速度的大小决定于恒星的质量和行星的轨道半径。@@提示：
(2) 无关。

[典例3] 2024年3月，航天科技集团相关研究团队表示，中国计划2030年前后完成火星采样返回. 火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的$\frac{3}{2}$，火星的半径为地球半径的$\frac{1}{2}$，火星的质量为地球质量的$\frac{1}{9}$，火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），探测器绕火星运行周期为$T$，已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可看作均匀球体，已知万有引力常数为$G$，则（ ）
A. 火星的公转周期和地球的公转周期之比为$\sqrt{\frac{8}{27}}$
B. 火星的自转周期和地球的自转周期之比为$\sqrt{\frac{27}{8}}$
C. 探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为$\sqrt{\frac{2}{9}}$
D. 火星的平均密度为$\frac{3\pi}{GT}$

答案： C [解析] 设太阳质量为 $M$，火星、地球质量分别为 $m_{1}$、$m_{2}$，轨道半径分别为 $r_{1}$、$r_{2}$，公转周期分别为 $T_{1}$、$T_{2}$，则由万有引力提供向心力 $G\frac{Mm_{1}}{r_{1}^{2}} = m_{1}(\frac{2\pi}{T_{1}})^{2}r_{1}$，$G\frac{Mm_{2}}{r_{2}^{2}} = m_{2}(\frac{2\pi}{T_{2}})^{2}r_{2}$，解得 $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{(\frac{r_{1}}{r_{2}})^{3}} = \sqrt{(\frac{3}{2})^{3}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$，故 A 错误；由题意可知，无法比较火星的自转周期和地球的自转周期，故 B 错误；设火星、地球的半径分别为 $R_{1}$、$R_{2}$，探测器质量为 $m$，运行速度分别为 $v_{1}$、$v_{2}$，则 $G\frac{m_{1}m}{R_{1}^{2}} = m\frac{v_{1}^{2}}{R_{1}}$，$G\frac{m_{2}m}{R_{2}^{2}} = m\frac{v_{2}^{2}}{R_{2}}$，解得 $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{Gm_{1}}{R_{1}}×\frac{R_{2}}{Gm_{2}}} = \sqrt{\frac{1}{9}×\frac{2}{1}} = \sqrt{\frac{2}{9}}$，故 C 正确；探测器绕火星表面附近运行时，有 $G\frac{m_{1}m}{R_{1}^{2}} = m(\frac{2\pi}{T})^{2}R_{1}$，解得火星的质量为 $m_{1} = \frac{4\pi^{2}R_{1}^{3}}{GT^{2}}$，火星的体积为 $V = \frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}$，即火星的平均密度为 $\rho = \frac{m_{1}}{\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}} = \frac{3\pi}{GT^{2}}$，故 D 错误。