《2025年名师伴你行高中同步导学案高中物理必修第二册人教版》

[典例 1] （2023·山东高考）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足$F\propto\frac{Mm}{r^{2}}$. 已知地月之间的距离$r$大约是地球半径的 60 倍，地球表面的重力加速度为$g$，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ）
A. $30\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
B. $30\pi\sqrt{\frac{g}{r}}$
C. $120\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
D. $120\pi\sqrt{\frac{g}{r}}$

答案： C [解析] 由题意知，对于地面上的物体有$F = mg\propto\frac{Mm}{(\frac{1}{60}r)^{2}}$，对于月球有$F' = m_{月}g'\propto\frac{Mm_{月}}{r^{2}}$，则$g'=\frac{g}{3600}$，月球绕地球公转有$F' = m_{月}(\frac{2\pi}{T})^{2}r$，解得$T = 120\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$，故选 C。

[训练 1] 把行星运动近似看作匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为$T^{2}=\frac{r^{3}}{k}$，$m$为行星质量，则可推得（ ）
A. 行星受太阳的引力为$F = k\frac{m}{r^{2}}$
B. 行星受太阳的引力都相同
C. 行星受太阳的引力为$F = k\frac{4\pi^{2}m}{r^{2}}$
D. 质量越大的行星受太阳的引力一定越大

答案： C 解析：行星受到的太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，由向心力公式可知$F = m\frac{v^{2}}{r}$，又因为$v=\frac{2\pi r}{T}$，代入上式得$F = m\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}$，由开普勒第三定律$\frac{r^{3}}{T^{2}} = k$，得$T^{2}=\frac{r^{3}}{k}$，代入上式得$F = k\frac{4\pi^{2}m}{r^{2}}$；太阳与行星间的引力与太阳、行星的质量及太阳与行星间的距离有关. 故选 C。