《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

03 如图 4 - 74 - 3，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，矩形 $ OABC $ 的顶点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，顶点 $ C $ 在 $ y $ 轴上，$ D $ 是 $ BC $ 的中点，反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象与直线 $ y = kx + b $ 相交于 $ D $，$ E $ 两点，若 $ OD = 5 $，$ OC = 3 $，解答下列问题。
(1) 求反比例函数及直线 $ DE $ 的函数解析式；
(2) 设点 $ F $ 是 $ x $ 轴上一动点，若 $ \triangle DOF $ 为等腰三角形，求出所有满足条件的点 $ F $ 的坐标。

答案： 解：
(1)$\because$四边形$OABC$为矩形，$\therefore\angle DCO = 90^{\circ}$。
$\because OD = 5$，$OC = 3$，$\therefore CD = 4$。$\therefore$点$D(4,3)$。
将$D(4,3)$代入$y = \frac{m}{x}$，得$m = 3×4 = 12$，
即反比例函数的解析式为$y = \frac{12}{x}$
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore BC = 2CD = 8$。
当$x = 8$时，$y = \frac{12}{x} = \frac{3}{2}$，即点$E(8,\frac{3}{2})$。
将$D(4,3)$，$E(8,\frac{3}{2})$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}3 = 4k + b,\frac{3}{2} = 8k + b.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = - \frac{3}{8},\\b = \frac{9}{2}.\end{cases}$
则直线$DE$的函数解析式为$y = - \frac{3}{8}x + \frac{9}{2}$。
(2)设点$F(x,0)$，由点$D$，$F$，$O$的坐标，可得$OD^{2} = 25$，$DF^{2} = (x - 4)^{2} + 9$，$OF = |x|$。
当$OD = DF$，即$OD^{2} = DF^{2}$时，则$25 = (x - 4)^{2} + 9$，
解得$x = 0$（舍去）或$8$，即点$F(8,0)$。
当$OF = OD$时，则$|x| = 5$，解得$x = \pm5$，即点$F( - 5,0)$或点$F(5,0)$。
当$DF = OF$，即$DF^{2} = OF^{2}$时，则$(x - 4)^{2} + 9 = x^{2}$，
解得$x = \frac{25}{8}$，即点$F(\frac{25}{8},0)$。
综上所述，点$F$的坐标为$(8,0)$或$( - 5,0)$或$(5,0)$或$(\frac{25}{8},0)$。