《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

01 如图 3 - 51 - 1，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90° $，$ \angle A = 54° $，以 $ BC $ 为直径的 $ \odot O $ 交 $ AB $ 于点 $ D $，$ E $ 是 $ \odot O $ 上一点，且 $ \overset{\LARGE{\frown}}{CE} = \overset{\LARGE{\frown}}{CD} $. 连接 $ OE $，过点 $ E $ 作 $ EF \perp OE $，交 $ AC $ 的延长线于点 $ F $，求 $ \angle F $ 的度数.

答案：
解：如图，连接 OD.
$\because \overgroup{CD}=\overgroup{CE}$,$\therefore \angle DOC = \angle EOC$.
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 54^{\circ}$,
$\therefore \angle ABC = 90^{\circ} - \angle A = 36^{\circ}$.
$\therefore \angle DOC = 2\angle ABC = 72^{\circ}$.
$\therefore \angle EOC = \angle DOC = 72^{\circ}$.
$\because OE \perp EF$,$\therefore \angle OEF = 90^{\circ}$.
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$,$\therefore \angle BCF = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle F = 360^{\circ} - \angle OEF - \angle BCF - \angle EOC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$.

02 如图 3 - 51 - 2，在 $ \odot O $ 中，$ AB $ 为直径，点 $ C $ 为圆上一点，将劣弧沿弦 $ AC $ 翻折交 $ AB $ 于点 $ D $，连接 $ CD $.
(1) 如图①，若点 $ D $ 与圆心 $ O $ 重合，$ AC = 2 $，求 $ \odot O $ 的半径 $ r $；
(2) 如图②，若点 $ D $ 与圆心 $ O $ 不重合，且 $ \angle BAC = 25° $，求 $ \angle DCA $ 的度数.

答案：
解：
(1)如图①，过点 O 作 $OE \perp AC$，垂足为 E，
则 $AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2 = 1$.
$\because$ 翻折后点 D 与圆心 O 重合，
$\therefore OE = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}r$.
在 $Rt\triangle AOE$ 中，$AO^{2} = AE^{2} + OE^{2}$，
即 $r^{2} = 1^{2} + (\frac{1}{2}r)^{2}$，解得 $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

(2)如图②，连接 BC.
$\because$ AB 是直径，
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$.
$\because \angle BAC = 25^{\circ}$,
$\therefore \angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ}$.
根据翻折的性质，AC 所对的圆周角为 $\angle ABC$，ABC 所对的圆周角大小等于 $\angle ADC$，
$\therefore \angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\because \angle ADC + \angle CDB = 180^{\circ}$,
$\therefore \angle ABC = \angle CDB = 65^{\circ}$.
$\therefore \angle DCA = \angle CDB - \angle BAC = 65^{\circ} - 25^{\circ} = 40^{\circ}$.

03 如图 3 - 51 - 3，以 $ AB $ 为直径的 $ \odot O $ 经过 $ \triangle ABC $ 的顶点 $ C $，$ AE $，$ BE $ 分别平分 $ \angle BAC $ 和 $ \angle ABC $，$ AE $ 的延长线交 $ \odot O $ 于点 $ D $，连接 $ BD $.
(1) 请判断 $ \triangle BDE $ 的形状，并证明；
(2) 若 $ AB = 10 $，$ BE = 2\sqrt{10} $，求 $ BC $ 的长.

答案： 解：
(1)$\triangle BDE$ 为等腰直角三角形.
证明：$\because AE$ 平分 $\angle BAC$，$BE$ 平分 $\angle ABC$，
$\therefore \angle BAE = \angle CAD = \angle CBD$，$\angle ABE = \angle EBC$.
$\because \angle BED = \angle BAE + \angle ABE$，$\angle DBE = \angle DBC + \angle CBE$，
$\therefore \angle BED = \angle DBE$.
$\therefore BD = ED$.
$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，
$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$.
$\therefore \triangle BDE$ 是等腰直角三角形.
(2)如图，连接 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F.
$\because \angle DBC = \angle CAD = \angle BAD = \angle BCD$，
$\therefore BD = DC$.
$\because OB = OC$，
$\therefore OD$ 垂直平分 BC.
$\because \triangle BDE$ 是等腰直角三角形，
$BE = 2\sqrt{10}$，$\therefore BD = 2\sqrt{5}$.
$\because AB = 10$，$\therefore OB = OD = 5$.
设 $OF = t$，则 $DF = 5 - t$.
在 $Rt\triangle BOF$ 和 $Rt\triangle BDF$ 中，$5^{2} - t^{2} = (2\sqrt{5})^{2} - (5 - t)^{2}$，
解得 $t = 3$，
$\therefore BF = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$.$\therefore BC = 2BF = 8$.