《2026年练就优等生课后提分攻略九年级数学全一册人教版》

03 如图 3 - 67 - 3, 已知 AB 是 $ \odot O $ 的直径, PC 切 $ \odot O $ 于点 P, 过点 A 作直线 $ AC \perp PC $ 交 $ \odot O $ 于另一点 D, 连接 PA, PB, PO.
(1) 求证: AP 平分 $ \angle CAB $.
(2) 若 P 是直径 AB 上方半圆弧上一动点, $ \odot O $ 的半径为 2.
① 当弦 AP 的长是$2\sqrt{2}$时, 以 A, O, P, C 为顶点的四边形是正方形;
② 当 $ \overset{\frown}{AP} $ 的长度是$\frac{2}{3}\pi$或$\frac{4}{3}\pi$时, 以 A, D, O, P 为顶点的四边形是菱形.

答案： 03 解：
(1)证明：
∵PC切⊙O于点 P，
∴OP⊥PC。
∵AC⊥PC，
∴AC//OP。
∴∠CAP=∠OPA。
∵OP=OA，
∴∠OPA=∠OAP。
∴∠CAP=∠OAP。
∴AP平分∠CAB。
(2)①$2\sqrt{2}$ ②$\frac{2}{3}\pi$或$\frac{4}{3}\pi$